полнотекстовый ресурс

Возводя в квадрат и сокращая на (X—х,), получим уравнение
первой степени относительно х. Действительно,
откуда
а(х—x,) (x—х2) = z2(x—j^)2,
а(х—х2) = z2(x—*i);
— ах., + xtz2 2а(х, — *,) z ,
х — —------------ — ; dx=----------------— az\
z — a (z2— a)2
\ ax“ -j- bx 4 c
a Ut — x2) z
z2 — a
Подставляя найденные выражения в (130), получим интеграл от
рациональной функции. После интегрирования нужно будет выразить
г через х, полагая
2 = ^ах2 + Ьх с
х —х,
С dx
Пример 4. Вычислить интеграл \ ~ 2>х -^ 4 ~ ’
Решение. Квадратный трехчлен х2 + Зх — 4 имеет различные
вещественные корни, поэтому здесь уместно применить
третью подстановку Эйлера.
В самом деле, .г2 + Зх — 4 = (дг + 4) (л:— 1). Поэтому, полагая
будем иметь:
V х2 + Зх — 4 = У (х + 4) (х — 1 ) = Z(x + 4)
(x + 4)(х — 1) = z2(x -I- 4)2, х - 1 = z2(x + 4);
4z2 + 1 , 10zdz , . 5
x — - -------—; dx — ----------- ; x + 4
1 - 2 2 ’ (1 — Z2)2 ' ' 1 - 2 * ’
x + 4) \ x2 + Злг — 4 =
5 5 2
1 — 22 1 — 22 (1
ç _________ dx____________ 102(1— z2)2dz _ 2 ^ + r
^ (x + 4) \/x2-\-3x— 4 ' (1 — z2)2dz-25z 5
/ x2 -b 3 y 4- 4
Подставляя 2 = _ ____ _____ Z_, окончательно получим:
x + 4
Г_________ d x__________ Vл:2 -Ь Здс — 4 i ^ ___
J (x + 4) y**_|_ 3X _ 4 5 7 + 4 ^
290
__ 2 f x — 1 4 C.
* 4 4