полнотекстовый ресурс

следовательно,
ь
ь
j' f(x)dx = \f(t)dt.
a
a
III. Пусть a < c < b, тогда всякая функция f(x), интегрируемая
на каждом из отрезков [о, с] и [с, Ь], интегрируема и на
отрезке [а, Ь] и
b с b
I f{x)d x= j* f(x)d x+ j f(x)dx.
a a c
Д оказательство. Пусть F(x) есть первообразная
функция для f{x).
Тогда
a
j f(x)dx = F(b ) — F(a)\
j f(x)dx = F ( c ) — F (a)-,
a
j f(x)dx = F (b) — F (c).
Û
Складывая эти два последних равенства, получим:
t. e.
a
с
b
\ f(x)dx + ij’ f(x)dx = F (с) — F (a) + F(b ) — F (c) =
что и требовалось доказать.
c
b
= F(b) — F ( a ) — f f(x)dx,
b c b
f f(x)dx = j f{x)dx + j f(x)dx,
a a c
Аналогично можно было бы доказать, что если а < Ci <
< с2< . .. < с„ < b и функция f (х) интегрируема на каждом из
отрезков [a, cj, [сь с2],..., [с„, Ь], то она интегрируема и на отрезке
[а, Ь] и
a
66
Ь с, г,
^ f(x)dx = [ f(x)dx + і' j(x)dx + ... + j f(x)dx.
a ci ct cn