полнотекстовый ресурс

В самом деле, пусть задана функция f(x) = cos х. Очевидно,
что первообразными функциями для нее будут функции:
F\(x) = sin.v, F2(x) = sinx + 17, Ғз(х) = sin x — 0,7
и т. д., и вообще функцией вида sin х + С (где С — произвольная
постоянная), так как производные от всех этих функций
равны cos х, то есть равны f(x).
Из этого примера видно, что зная одну какую-либо первообразную
функцию F (х) для данной функции f(x), можно найти
и целый класс первообразных функций вида F(x) + С, так как
не только
F'(x) =f(x),
но и
[Ғ(л:) +C]' = F'(x) =f(x).
(С — произвольная постоянная).
Этим классом исчерпываются все первообразные функции.
Чтобы убедиться в этом, докажем теорему.
Теорема. Разность между любыми двумя первообразными
функциями, заданными в промежутке для одной и той же непрерывной
функции f(x), равна С (С — произвольная постоянная).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дана функция f(x) и две ее
первообразные F\(х) и F2(x), то есть
F/(x) =f(x)
и F2'(x) =f(x).
Вычитая второе равенство из первого, получаем:
или
Убедимся, что разность
F/(x) — F2'(x) = f(x) — f(x) = 0,
[F^x)-F2(x)Y = 0.
Ғ ,(х) — Ғ2(х)
равна постоянной величине. Действительно, рассмотрим функцию
ср(х) = Ft(x) — F2(x).
Выше было показано, что q/(.v:) =о> тогда по формуле конечных
приращений Лагранжа, известной из дифференциального исчисления,
получим при любых х из данного промежутка
Следовательно,
ср(х) — ф(а) = (х — а) ф'(£) = (х — а) • 0 = 0.
ср(х) = ф (а) = С,
что и требовалось доказать, то есть
Ғ ,(х) — Ғ2(х) = С, или Ғ ,(х) = Ғ2(х) + С.