You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
. — dx--- _ = б Г tbd± = g Г = g Г ( i .+ fl } j t „<br />
) y j ( 1 + 'Ух) J /3(1+г2) J 1 4 ^ J 14~*2<br />
= б f dt — 6 f ___1 L _ = 6(/~arctgt) + C =<br />
J J 1 + /*<br />
6 _ 6<br />
= 6 ( V x — arctg V x) + C.<br />
Рассмотрим интегралы, содержащие дробные степени выражения<br />
а + Ьх, то есть интегралы типа<br />
{ R [х, {а Ь **)■/»] dx, (20)<br />
где R — гоже рациональная функция. Подинтегральное выражение<br />
этого вида можно преобразовать в рациональную форму<br />
посредством подстановки:<br />
а + bx = tn , (21)<br />
где п — наименьший общий знаменатель дробных показателей<br />
выражения (а + Ьх).<br />
Например, пусть требуется найти<br />
С ___<br />
dx______<br />
) (7+ л-)3/24 V T + x '<br />
Применим подстановку (21), полагая<br />
тогда<br />
и<br />
\ + х =• Р,<br />
dx = 2 tdt<br />
(1 4 - х )3 / 2 = ( ^ ) 3 / 2 = /3. (1 + д -)1/2= = (/*)1/2= = /.<br />
f ------------- ----= 2 f = 2 f = 2 arctgt 4 С =<br />
J (1 4 *)3/2 4 (1 + *)' п J t3+ t J 1-Иа<br />
=2 arctg]/1 -+-* -f C.<br />
Если в подинтегральном выражении находится корень какойлибо<br />
степени из линейного многочлена, бывает полезным принять<br />
этот корень за новую переменную.<br />
п p X" —(—3 ,<br />
Приме р. \ -■——■4 -■— dx.<br />
J V ( 2х — 5 )»<br />
Решение. Применим подстановку ]/ 2х — 5 — t,<br />
тогда<br />
55
Change language