полнотекстовый ресурс

Убедимся в справедливости написанных равенств.
Разобьем интеграл
+ а
на два интеграла:
\ î(x)dx
—а
+ а 0 +а
I f(x)dx = ^ f(x)dx + \ f(x)dx.
—а —а О
В первом интеграле в правой части равенства произведем
замену переменной
х — — t,
тогда
dx = dt\
при х = —a, t — а\ при х — 0, t = 0.
Отсюда
Ç f(x)d x= — ^ f ( — t ) d t = [ / ( — t )d t = ^ /(— x)dx.
—Cl à 0 î)
Здесь мы воспользовались двумя свойствами определенного
интеграла: во-первых, переставив пределы интегрирования, переменили
знак интеграла на обратный и, во-вторых, переменную
интегрирования обозначили опять буквой х.
о
Подставляя полученное выражение интеграла \ f(x)dx в
предыдущую формулу, получим:
—а
j f (x) dx — j f ( — x)d x + J f (x )d x — Ç [/ (— x) 4 f(x)]dx.
—a 0 0 0
Легко теперь сделать следующий вывод: если функция f(x) четная,
то сумма f (—x) + f(x) = 2f(x) и тогда
+ а а
I f(x)dx — 2 I f(x )d x . (33)
-а 0
Если же f(x) нечетная функция, то сумма
и
86
f (—x) + fix) = 0.
\ f(x ) dx = 0. (34)
—а