Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Первая теорема<br />
Рульдина (G ouldin)<br />
Из формул (73) и (76) вытекает очень важное геометриче<br />
ское следствие. Умножив обе части равенства (73) на 2л,<br />
будем иметь:<br />
(В)<br />
2 ityeL = 2ic j ydL.<br />
іа)<br />
Правая часть этого равенства выражает площадь Рх поверхности<br />
вращения дуги АВ вокруг оси ОХ, а левая представляет<br />
собой произведение длины дуги АВ на длину окружности,<br />
описываемой вокруг оси ОХ центром тяжести дуги АВ. Это<br />
позволяет сформулировать следующую теорему.<br />
Теорема Гульдина 1. Поверхность тела, полученного при<br />
вращении дуги плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей<br />
в той же плоскости и не пересекающей ее, равняется произведению<br />
длины вращающейся дуги на длину пути, описанного<br />
при этом вращении центром тяжести дуги.<br />
Пользуясь этой теоремой, можно довольно просто находить<br />
координаты центра тяжести кривой, если известна длина дуги<br />
кривой и площадь поверхности вращения, образованной этой<br />
кривой. Например, легко найти центр тяжести дуги полуокружности<br />
(пример 1,2°), если вспомнить, что длина ее равна л а, а<br />
площадь поверхности вращения этой дуги вокруг оси ОХ<br />
равна Ала2.<br />
Действительно, по теореме Гульдина<br />
откуда<br />
2 nycL — Ала2,<br />
Ат.а2 4~й2 2 а<br />
2itL 2т: • таг тг<br />
Такой результат мы имели в примере 1,2°. Аналогичным образом<br />
можно легко найти и центр тяжести дуги первой арки циклоиды,<br />
если принять во внимние, что площадь ее поверхности<br />
вращения вокруг оси ОХ равна<br />
и длина дуги<br />
В таком случае<br />
о 64 „<br />
Рх = -----па-<br />
3<br />
L = 8а.<br />
2 * у / = ~ к а 2,<br />
208
Change language