полнотекстовый ресурс

Тогда
ü
f(x) (f(x)dx = /( 1) j ф(х)с(х, (24)
где I некоторое среднее число между а и Ь.
Доказательство. Положим для определенности, что
i < 0 и ф(х) > 0 для всех .v на отрезке [a, b].
Обозначим наименьшее и наибольшее значения функции
f(x) на отрезке [а, Ь] соответственно через т и М, так что
тогда
a
m < f(x) < M (1)
m ? (х) < / (■*) ? (■*) < м ? (х)'
b b b
m ^tp(x) dx < j / (x) cp(x) dx < УИ ^«p(x) dx. (2)
a a a
В силу предположения ф(х)>0 напишем
ь
\Ф (x) с/х > 0.
a
b
Если этот интеграл равен нулю, то \ /(х)ф (x)dx = 0 и
U
справедливость формулы (24) очевидна. Разделив
ь
неравенства (2) на ^ф(х)с/х>0,
получим:
а
b
j f (x) 9 (x) dx
все члены
Отношение
m < — ь----------- < M -
\ T (x) dx
a
b
\f{x)