Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
§ 16. Метод интегрирования по частям<br />
(определенный интеграл)<br />
Метод интегрирования по частям применялся при нахождении<br />
неопределенных интегралов. Этот метод можно использовать<br />
и при вычислении определенных интегралов.<br />
Пусть даны и — f(x) и и — ср(х) непрерывные вместе со<br />
своими производными на отрезке [a, b] функции. Из формулы<br />
дифференциального исчисления<br />
dx<br />
U (x )Ф « ] = f(x )ср'(х) + ф(х)Г(х)<br />
путем интегрирования в пределах от а до b получаем:<br />
ИЛИ<br />
Так как<br />
ъ ь ?<br />
\f(x) ф ( X ) ) = j /(дг) ф ' (x) dx -t \ ф (x )f'(дг) dx,<br />
а а а<br />
ь<br />
j f(x)y'(x)dx = [f(x)(f{x)] - j cp(x)f'(x)dx.<br />
a a a<br />
(ç'(x)dx = dv и f'(x)dx = du,<br />
b<br />
последнюю формулу можно записать в более простом виде,<br />
удобном для запоминания:<br />
ь ъ ь<br />
^udv — [uv] — §vdu. (37)<br />
а а а<br />
Это и есть формула интегрирования по частям определенного<br />
интеграла. Из формулы (37) видно, что вычисление одного инь<br />
теграла f udv сводится к вычислению другого интеграла<br />
Ъ<br />
а<br />
j1 vdu, который при удачной разбивке подинтегрального выраа<br />
жения на произведение и и dv может оказаться более простым.<br />
Перейдем к вычислению определенных интегралов с помощью<br />
метода интегрирования по частям.<br />
е<br />
Пример 1. Вычислить 1 In xdx.<br />
i<br />
Решение. Подинтегральное выражение In xdx разобьем<br />
на два множителя, полагая<br />
и = ln x,<br />
dv = dx\<br />
95
Change language