Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Итак, искомый центр тяжести лежит в точке<br />
8 h<br />
0) на рас-<br />
8 А<br />
стоянии, равном j -<br />
от центра круга.<br />
В частном случае, если бы дуга L была равна полуокружности,<br />
то h = 2г = 16 и L = лг — 8л; центр тяжести был бы в<br />
точке<br />
(результат получился аналогичный примеру 1).<br />
Пример 3. Найти центр тяжести дуги циклоиды<br />
х — a(t — sin 2*),<br />
у — а( 1 — cos t),<br />
заключенной между первыми двумя точками циклоиды, лежащими<br />
на оси ОХ.<br />
Решение. Координаты центра тяжести дуги циклоиды<br />
определим по формуле (78) и (79). Заметим прежде всего, что<br />
длина дуги первой арки циклоиды нам уже известна: L — 8а.<br />
Остается лишь вычислить интегралы, стоящие в числителе формул<br />
(78) и (79).<br />
Тогда<br />
dL — У (x'tÿ + ( г/')2 dt — 2a sin dt.<br />
откуда<br />
d М х = ydL = 2«’ (1 — cos t) sin — dt — 4a2 sin3<br />
2 2<br />
dt,<br />
Итак,<br />
г" t 32<br />
Л1Х — ycL = 4a2 \ sin3 — dt = -----a2.<br />
ô 2 3<br />
2тс<br />
( ydL<br />
{ 32 a2 4 л<br />
Уе~ L ~ 3 - 8 a ~ 3 a ’<br />
Следовательно, центр тяжести дуги первой арки циклоиды на-<br />
4<br />
ходится в точке С (па, — а).<br />
Замечание. Первая арка циклоиды расположена симметрично<br />
относительно прямой я а, поэтому центр тяжести дуги циклоиды<br />
лежит на этой прямой и искать хс = я а не нужно.<br />
247
Change language