полнотекстовый ресурс

Замечание. Произвольную постоянную мы обозначили
здесь через 3 In С лишь для удобства получения более простого
по виду ответа. Можно было бы написать ответ и в виде
А х~ — X — 3 ln х + 3 ln | х — 1 I+ 31П;Х + 2| + С =
= — х2 — х + 3 In
2 X
+ С.
II случай. Корни уравнения f(x) все действительные, но
некоторые из них повторяются. Знаменатель дроби, следовательно,
может быть разложен на действительные множители
первой степени, причем некоторые из них повторяются.
Всякому множителю первой степени х—а кратности п, как
было показано раньше, соответствует п простых дробей
A B C D
: + : v t + \ «_о + • • • + . .
(х — a i" -1
Последняя дробь интегрируется так, как и в случае I. Все
остальные простые дроби интегрируются по формуле интегрирования
степени. Например,
С — = Л \ \x — a)~nd x = * ----------—-----— - + С. (128)
J (х — а)п J (1 —п)(х—а)п- 1
Пример 3. Найти
f
(8х3 + 7) dx
J (x + 1)(2х + I)8
Решение. Множители знаменателя первой степени, причем
множитель 2.V + 1 повторяется три раза. Поэтому полагаем,
что
8х3 4- 7 Л В C D
H----+ VT І Г Т +
(x + 1)(2х + 1)3 х + 1 (2 х + 1 )3 (2х + 1 )2 2х+1
Приведем дроби к общему знаменателю и освободимся от знаменателя.
8x3 + 7 = Л|2х + 1 )л + В(х + 1) + С(х + 1 ) (2х + 1 ) +
+ D(x + 1) (2 х + 1)а = Л(8х3+ 12х2 + 6х + 1) + Вх + В + 2Сх2+
+ 2Сх + Сх + С + 4 Dx3 + 8 Dx- + 5 Dx + D = (8Л + 4D jx3 +
+ ( 12Л + 2C + 8 D)x~ + (6A + В + 3C + 5 D)x + Л + В + С + 0.
Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях
буквы х в левой и правой части равенства, получим систему че­
18— 880 273