полнотекстовый ресурс

ГЛАВА II
О Б О Б Щ Е Н И Е ПОНЯТИЯ
ОБ О П Р Е Д Е Л Е Н Н О М ИНТЕГРАЛЕ
(несобственные интегралы)
§ 18. Определение интеграла с бесконечными пределами
В главе I было изучено понятие об определенном интеграле.
Там же мы познакомились с основной формулой интегрального
исчисления — с формулой Лейбница—Ньютона:
ь
ъ
Ç f (x )d x = F (x )\ = F (b ) — F (a ). (15)
а
а
При выводе формулы (15) предполагалось, что пределы ңнтегри
рования а и b конечны, а подинтегральная функция f(x) ограничена
на данном отрезке [а, Ь]. При несоблюдении одного из
указанных условий формула Лейбница— Ньютона может оказаться
непригодной. Однако существуют случаи, когда формула
(15) остается верной и при нарушении одного из поставленных
условий. Пусть заданная функция f(x) определена в промежутке
[о. +оо),т. е. для т>-а, и интегрируема в любой конеч
в
ной его части [й, В], так что интеграл \f{x)dx имеет смысл
при любом В > а.
Если при В стремящемся к плюс бесконечности для этого
интеграла существует определенный конечный предел, то его
называют интегралом функции f(x) в промежутке от а до +
и обозначают символом
+ О0 В
[ f (x) dx = пред [ f [x )d x . (41)
J в . о. J
а
105