полнотекстовый ресурс

площади нельзя вычислить с помощью определенного интеграла,
так как на данном отрезке [— 1, 1] подинтегральная функция
не ограничена. Если же мы возьмем любые достаточно малые
два положительные числа ei и г2 и проведем внутри рассматриваемой
фигуры две ординаты xt = —еь х2 = + ег, то величины
площадей заштрихованных фигур ABCD и FEMN уже
можно вычислить с помощью определенных интегралов
— +1
Ç .V'-2/3 dx и j x~2l'i dx,
—i .
так как на данных отрезках
[ —1,—ei], [сг, + 1] функция 1)=х~^13
ограничена и пределы интегрирования
конечны.
Вычислим величины площадей
фигур ABCD и FEMN, которые
мы обозначим соответственно
через Si и S2.
Рис. 14.
St = || x - 2'3 dx = 3 [дс,/3]_1= o i — y -t- v 1 j,
— 1
S2 = fx~Wdx = 3[\y Т-\Уц}-
'г
Будем теперь передвигать ординату х = —г\ вправо, а ординату
х — ег влево, устремляя ei и е2 к нулю. Тогда
5 1 = 3 [ — ү ^ + Ү ^ + Г Ь З
52 = 3 [v rr-^ ]-> 3 ,
значит, величина искомой площади будет равна сумме величин
пределов площадей Si и S2, т. е.
S = пред + пред = 3’+ 3 — 6 (ед3).
•х-*-0 е2->0
Таким образом, площадь фигуры, неограниченно простирающейся
вверх, оказалась конечной. В этом случае величину площади
S тоже можно выразить с помощью определенного интеграла,
обобщив понятие интеграла и на тот случай, когда особая
точка лежит внутри отрезка интегрирования.
Вычисляя площадь S данной фигуры, простирающейся в
бесконечность, мы исходим при решении задачи из рассмотрения
площадей S! и S2 конечных фигур, а затем уже переходим
121