полнотекстовый ресурс

1
ми производными ср'(/), ф '(0 . і ' (i) на отрезке [а, р], то дифференциал
дуги кривой выражается по формуле
dL = К К ) 2 + Ю 2+ [z\)*dt, (65)
а длина дуги определяется по формуле
р
L = \ V W ( /)]•+[fU)lr+ [*'(01*d < ■
(66)
Пример 1. Вычислить длину винтовой линии, заданной
параметрическими уравнениями:
х = a cos t,
у = и sin t,
z = et,
от точки Л(^ = 0) до точки В (t — лю бое).
Решение. По формуле (65) находим дифференциал дуги
пространственной кривой
dL = У ( Х;]2 + (у\)2 + «)*< // = V (— a s in /) * + (acos/)* + с2 dt.-
dL = V a 2 + c2dt ,
отсюда длина дуги АВ винтовой линии равна
t
L = f V а2 + с2 dt = Va2 + с2 • t .
Если вспомнить, что при развертывании цилиндрической поверхности
винтовая линия на ней превращается в наклонную прямую,
то полученный результат очевидный.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти длину дуги кривой у2 = х3, между точками (0,0) и
(4,8). Отв. L = ^ (10J/ÏÜ - 1).
2. Найти длину дуги логарифмической спирали между точками
(фі, pi) (ф2, рг), если уравнение кривой имеет вид: р = ае**.
° ТВ- L== а *
3. Найти длину гиперболической спирали рср = а, заключенной
между точками (ср1( pt ) и (ср2, р2).
'і „ (т + у - П ң і - J H S 1"
Отв. L = a
192
«Pi