полнотекстовый ресурс

Для доказательства равенства (121) достаточно подобрать числа
M, N и функцию (полином) F[(x) так, чтобы равенство (а)
было тождеством. Определим М и N таким образом, чтобы левая
часть делилась на x2 + px + q без остатка. По нашему предположению
F\ (х) есть целая рациональная функция, значит,
F(x) — (Mx+N) f\(x) должно разделиться на x2 + px + q, а это
возможно лишь в том случае, когда корни x2 + px + q будут корнями
F(x) — (Мх -f N) fi(x), т. е., чтобы имело место уравнение
F(х) — (Мх + N) /, (х) = 0 при x = а ± bi. Тогда
откуда
F (а + bi) — [М(а + bi) + N]f, (а + bi) = О,
.. F(a + bi I
Al i a + bt) + Л = --------------- .
fxia + bi)
Правая часть равенства, как частное двух комплексных чисел,
является числом комплексным, обозначая это комплексное число
через А + ВІ, будем иметь:
M (а + bi) + N — А + Bi.
Неизвестные коэффициенты А1 и N определим из условия равенства
этих двух комплексных чисел; так как
то
откуда
Ma + N + Mbi = А + Bi,
Ma + N = А и Mb = В,
b
{б)
или
N = A - Ala = А — — ,
b
.. Ab — Ва
» ■ '■■>
Зная М и N, полином Fx(x) определим из формулы (а), как
частное. Итак, мы доказали, что
Fix) А1х + /V Ft (x)
------------------------------------------------- +
ix2 + px + q)kf xix) ix2 + px + q\k px+ q)k-' /,(* )
Разложение дробной функции на простые дроби
Теперь уже нетрудно доказать сформулированную вначале
F { \
теорему: каждая правильная дробь - -— может быть представлена
в виде суммы конечного числа простых дробей.
267