полнотекстовый ресурс

Выполняя подстановку, будем иметь
1 * г./б / 6 г./ 6
\ V 4 — x* dx = Г ]/4 — 4 sin21 . 2 cos tdt — 4 ij cos2tdt
tc/6
2- 1 ( 1 + cos2 t)dt — 2 t +
sin 21 :/a
= 2
2
7Г
6
sin
J L I 1 3
3
3,91325.
Пример 2. Вычислить j (a2— x2) 2dx.
Решение. Для вычисления этого интеграла применим
аналогичную подстановку:
х — a sin t,
тогда
dx = a cos f Л.
Находим пределы интегрирования для новой переменной:
при х = 0, 0 = a sin г1, откуда t — О,
при х — а, а = a sin t, sin / = 1,
u
откуда t
2 ’
Выполняя подстановку, получаем:
I (а* — x2)1 d х = \ [а1— a2sin2/]2acos td t =
ô
'о
n/2
2 1
5j (1 — 2 sin21+ sin4/) d sin t — a5[ sin t — g-sin3/ + gSin5/]0=
-2 + i
3 5 15
Замечание. Применяя способ подстановки к вычислению неопределенных
интегралов, мы всякий раз после интегрирования
возвращались к прежней переменной. При вычислении определенных
интегралов способом подстановки, как видно из приведенных
примеров, можно этого не делать, так как после замены
переменной и нахождения пределов интегрирования для новой
переменной оказывается возможным получить окончательный
числовой ответ.
82