Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Задача 4. Гипербола у = — вращается вокруг оси ОХ. Вы-<br />
X<br />
числить объем и боковую поверхность полученного тела вращения<br />
при х > \ (рис. 12).<br />
Конечная часть полученного тела вращения от х = 1 до<br />
x — b > 1 имеет объем<br />
V'<br />
ç dx<br />
z ) l â<br />
i<br />
и боковую поверхность<br />
S . - 2 . ( ± у 1 + Л . Л .<br />
]<br />
Очевидно за объем V и боковую поверхность<br />
5 всего тела вращения, простирающегося<br />
в бесконечность, нужно<br />
принять пределы этих величин, т. е.<br />
положить<br />
+оС<br />
-f оо<br />
г dx<br />
Рис. 12.<br />
l= 'l tV x+ h d*-<br />
Вычислим первый интеграл.<br />
.. ï? d x }d x i<br />
V — тг \ —тс пред \ —s- = -- тспред - ТС ' І - Г<br />
J X Ь -* -f oo J X 5o \ X/ со<br />
= я (ед.3).<br />
Интеграл сходится, он имеет конечный предел, равный я.<br />
Вычислим второй интеграл. Оказывается, он расходится,<br />
так как<br />
2 . In b<br />
и при b сю, 2тс ln b со, а значит, и S-*-4--«.3to значит, что<br />
боковая поверхность не является величиной конечной, а стремится<br />
к + оо .<br />
§ 19. Условие существования (сходимости) несобственных<br />
интегралов<br />
Для определенности рассмотрим интеграл вида:<br />
Г f(x)dx.
Change language