полнотекстовый ресурс

Пример 7. Вычислить интеграл
Решение. В данном примере R (sin x, cos х) =
= —R(—sinx, cosx). Применяя подстановку z = cos х и выполняя
соответствующие преобразования, будем иметь:
dz = —sin xdx, sin2 x = 1 — cos2 x = 1 — z2.
sin xdx
2 cos x -f cos2 x + 3 sin2 x
- Î
d z _ 1 r*
2га — 2z — 3 ~~ 2 J
2
1/7
2
1 , K 7
1
+ c “ 2 V T ln
d z
J 2 z-j-z2 + 3 — Зг2
d z
. - 1 . -
2 ,
2 cos x
_7
4
1/7 — !
2 cos x + V l — 1
+C.
2 2
Пример 8. Вычислить интеграл
cos2x ,
------- d x.
J sinGx
Решение. При замене sinx на ■—sinx и cosx на —cosx
выражение У?(sinx, cosx) не изменяется. Применим подстановку
г - tg x, dx = ——— , cos2x ■
6 1 + z 2
\ ^ d x = f
J sinGx J
OZ-'
1
+ C =
Зг3
Вычислить интегралы:
dx
' h cos2x—b sin2x
dx
3 cos2x -f 4 sin2x
(1 -f z2)3 dz
(1 + z 2)(l + z 2)z';
1
УПРАЖНЕНИЯ
Отв.
Отв.
1
+ г : 2 ’ s m ^ x —
i±
(* (1 + z2) dz
1
5 tg5x 3 tg:i x
J __ i !Y a cos x -(- Y b sin x j
+C.
2 Vab ! y a cos x — } b sin X
C.
1 2 tor лг
r arctg — + C.
2 У З “ УЗ
3 . f d*. Отв. — 1-=^ ln 1УУЗ З cos x + sin x | + c
J 3 — 4sin 2x 2 У 3 У 3 cosx — sinx
1
309