полнотекстовый ресурс

(j’ f(x)dx, а левая — [F(b) — P (o)], так как она не зависит от п,
(I
поэтому
b
F(b) — F (а) = \ f(x)dx,
что и требовалось доказать.
Обычно для разности F (b)— F (а) вводят обозначение:
или, в другой форме:
F(b)-F(a) =[F(x)t
F(b) — F (a) =F(X)\
а
(читается: подстановка от а до b в функцию Ғ(х)).
Формула Лейбница — Ньютона перепишется теперь так:
а
ь
ь
ij f (x)dx = F (х)\ = F (b) — F (a). (15)
a
Эта формула позволяет вычислить определенный интеграл
через разность значений первообразной функции, не прибегая к
правилу вычисления определенного интеграла, как предела
суммы.
Например:
п/2 п/2
I) \ cos x dx — sin x
о
3 3
2) Ç2xdx = x*\ ^ 3“ - l.;
1 1
1 1
:J) 5 т т ? = a r c , g '
a
= s in ^ -----sin 0 = 1 .
arclg 1 — arctg0 = - | - .
Приведенные примеры показывают, что если известна первообразная
для данной функции, то определенный интеграл от нее
легко вычислить.
Если же первообразную функцию для данной функции не
удается найти, то тогда вычисляют определенный интеграл
приближенно. Для этой цели иногда используют интегральную
сумму.
Замечание. Формулу Лейбница—Ньютона можно применять
в том случае, если подинтегральная функция f(x) непрерывна