полнотекстовый ресурс

§ 36. Интегралы от выражений, содержащих радикалы
Интегралы вида
Интегралы вида )’ R{x, \;ах2 + bx + с) dx
\ R(x, \/ах2 + bx + с) dx, (130)
где R — рациональная функция своих аргументов, приводятся к
интегралам от рациональной дроби при помощи подстановок
Эйлера.
Рассмотрим несколько случаев.
I случай а > 0. В этом случае можно воспользоваться
первой подстановкой Эйлера:
1 ах2 + Ьх + с = z — x Y а , (131)
или / ах2 + Ьх + с — z + x Va, которая ? позволит привести
данный интеграл к интегралу от рациональной функции. В самом
деле, возвышая обе части равенства (131) в квадрат и решая
его относительна х, получим:
ах2 + Ьх + с — z 2 — 2zx 11 а + ах2; Ьх + 2zx la = z 2 — с;
Ь + 2 Уа:
dx = _
2 ( \!а • z 2 + bz + с \а )
{Ь + 2 ! а • z)2
Остроумие подстановки Эйлера заключается в том, что для определения
х получается уравнение первой степени, так что x, dx
и радикал Ÿax2 + Ьх + с выражаются рационально через z.
Если полученные выражения подставить в (130), то вопрос
сведется к интегрированию рациональной функции от г. Для получения
окончательного ответа нужно положить
П р и м с p
г = \ ах2 + Ьх + с + х ча . (132)
1. Вычислить интеграл
d х
\ х2 — х + 2
Решение, а — 1 0. Применим первую подстановку
Эйлера.
х2 — х + 2 — z — xi х2 — х + 2 — z 2 — 2 zx + х2;
z2 — 2 , 2(z2 — z + 2) ,
х = -----------, dx = -i— -------- ——- dz;
2z - \ (2z — 1) 2
\x2 — x + 2 = z — x — .
г 2 — 2 z2 — z + 2
2z — 1 22 — 1
286