полнотекстовый ресурс

Тогда 2л
t t і (\ 2т'
L = ] 2rtsin2 d t—2a • 2 c o s -J = 4a(— cos n -f- cos 0) = 8a.
Мы получили интересный результат: длина дуги одной арки
циклоиды равна длине учетверенного диаметра катящегося
круга.
Пример 2. Вычислить длину всей астроиды, которая задана
параметрическими уравнениями (рис. 31):
отсюда
x = R cos3 1,
у — R sin3 1.
Решение. Находим dL по формуле (62) :
х \ = —3R cos21 sin t,
\ y \ — 3R sin21 cos t,
(x' t)2 = 9R2 cos41 sin2 1,
(y't)2 = 9R2 sin41 cos2 1.
dL = V 9R 2 cos4 sin2/ + 9Л?2 sin4/ cos2 1 dt —
= Ÿ 9 R 3 sin2/ cos2/ (cos2/+ s in 2/) dt *= 3/?sln / cos td t,
2 г. 0 2 г.
L— ^ 3/?sin / cos / dt = ^ sin 2tdt.
0 ^ 0
Если бы мы взяли интеграл в указанных пределах, то длина
всей астроиды оказалась бы равной нулю, действительно:
3 2* 3 2* 3
~R \ s'n 2tdt — — ~ R [ cos 2 / 1 == — —R (cos 4я — cos 0) —
* ô ^ о 4
- /г (i - 1) = о.
4
Это, конечно, неправильный ответ. Дело в том, что если промежуток
интегрирования разбить на частные промежутки
то подинтегральная функция sin 21 положительна в первом и
третьем промежутках и отрицательна во втором и четвертом
промежутках, поэтому соответствующие интегралы тоже будут
185