полнотекстовый ресурс

приводится к интегралу с бесконечным пределом. Поэтому любому
из свойств интегралов с бесконечными пределами соответствует
аналогичное свойство интеграла от неограниченной
функции.
Полная аналогия с несобственными интегралами, распространенными
на бесконечный промежуток, позволяет нам лишь
только перечислить следующие условия и признаки существования
несобственных интегралов от неограниченных функций.
b
Для сходимости несобственного интеграла j f(x)dx, где b—
а
особая точка, необходимо и достаточно, чтобы, каждому числу
е > 0 отвечало такое число Ô > О, чтобы при 0 < ei < ô и
О < ег < ô выполнялось неравенство
b—Êj
J f[x)dx j < E.
b—s 1
Из этого общего условия сходимости вытекает следующее следствие:
если интеграл
ь
J \f(x) \dx
сходится, то интеграл
U
I
ь
J f(x)dx
а
и подавно сходится.
Замечание. Предполагается, что функция f(x) интегрируема
(в собственном смысле) на всяком отрезке [a, b — е].
Обратного заключения сделать нельзя.
Если сходится интеграл
I
J /(*) dx
а
и, кроме того, сходится интеграл
С
J f(x) !dx,
а
то говорят, что первый интеграл сходится абсолютно, а функцию
f(x) называют абсолютно интегрируемой на отрезке [а, Ь].
Сформулируем теперь частные признаки сходимости несобственных
интегралов от неограниченных функций (признаки
Коши).
128