полнотекстовый ресурс

Пределы интегрирования для новой переменной определены по
известному правилу из уравнения tg х = г:
при х = 0 г = tgx = tg0 = 0,
при х = -J ,
z = tg — = + оо.
П р и м е р. Вычислить
J
dx
14 + А-ул-’
Решение. Применяя подстановку
получим:
dx
x = 2tg z,
2 dz
dx=
2 ’
COS іг
2 dz
(4 + x2)3/2- cos2z • 43/2 • (sec2;:)3'2 4
Пределы интегрирования для новой переменной:
соszdz.
— оо =■:- 2 tg.?, г- — -- (нижний предел),
-j- оо = 2 t g z , z = + (верхний предел).
Следовательно,
+ °о +Г./2 +Г./2
(4 -f- x*)3/2 dx = - Г cos zd z ==- sin i
4 J
—-/2
4 .
—ÎI/2
J
4
sin ■sin —
Г1 p и m e p. Вычислить интеграл
4
dx
V4x — x2
Решение. Данный интеграл — интеграл от неограниченной
на отрезке [0, 4] функции; подинтегральная функция претерпевает
разрыв непрерывности на концах отрезка интегрирования,
т. е. при х = 0 и х = 4. Мы ознакомились с условиями применения
формулы Лейбница-Ньютона. Выполняя эти условия,
находим сначала первообразную функцию F(x), а потом нужно
будет проверить непрерывность этой функции во всех точках
отрезка [0, 4], включая и особые точки х = 0, х = 4.
130
1
9 ■