полнотекстовый ресурс

дует сходимость ( существование) интеграла
+ СО
\ f (x)dx (fl0> а)
и наоборот
«о
О
2) из сходимости интеграла \ / (я-) dx вытекает сходимость ино
w -j-w
теграла ^kf(x)dx (k — const), причем j” kf(x)dx = k | (x)dx
a a a
3) если сходятся интегралы
то и интеграл
-{-00 -foo
^f(x )d x и ф (x)dx,
a
J [/(*) ± 4>{x)]dx
a
тоже сходится.
Эти же следствия вытекают и непосредственно из определения
несобственного (обобщенного) интеграла.
a
Пользуясь теоремой 1, можно было бы убедиться в справедливости
и следующих следствий:
+ *>
1) из сходимости (существования) интеграла ^ f(x )d x елеа
§ 20. Признаки сходимости несобственных интегралов,
основанные на сравнении их
+ оо
димость интеграла \ f (x) dx, или, что то же,
-I-00
а
\f(x)dx следует расходимость интеграла
Будем предполагать, что на любом конечном отрезке [а, В]
функции, рассматриваемые в бесконечном промежутке [a, -foc],
интегрируемы. Изучим вопрос о сходимости интеграла в бесконечном
промежутке [а, +оо], предполагая функции положительными.
Докажем теорему.
Теорема. Если при + оо 0 < / (* ) ср(х) и, если
функции f(x) и ф(х) интегрируемы на любом отрезке [а, В]
+ »
(a