You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Решение. Шар получается от вращения полукруга вокруг<br />
оси ОХ. Уравнение окружности в данном случае будет<br />
откуда<br />
х2 + у 2 = R2,<br />
значит искомый объем<br />
у = \ R2 — А'2 ,<br />
+ R<br />
v.- j 1<br />
- R<br />
(R2- x 2)dx=2it {R*-x*)dx=2K R2x- - X s<br />
— Ztc R3 — -R 3<br />
3<br />
= -тс/?3(е д 3).<br />
Пример 3. Вычислить объем тела — эллипсоида вращения<br />
(рис. 44). Эллипсоидом вращения называется тело, образованное<br />
вращением эллип-са вокруг оси ОХ:<br />
— + L = i '<br />
а 2 Ь2<br />
Решение. Такой эллипсоид называется удлиненным<br />
эллипсоидом вращения (рис. 43 при с — Ь). Крайними значениями<br />
оси абсцисс будут (—а) и (+ я ). По формуле (54) получим:<br />
у ЛЛ<br />
■+■11<br />
— тс Г y2dx — тс<br />
Т - :<br />
dx—itb2l х<br />
За2<br />
= —r,ab2 (ед3).<br />
3<br />
Аналогично можем вычислить и объем сжатого эллипсоида<br />
вращения вокруг малой оси, т. е. вокруг оси OY. Применяя<br />
формулу (55), получим:<br />
Усж = тс Г а 2 ( 1 — y- ^ \d y = ^ ка2Ь[ед3) .<br />
Пример 4. Вычислить объем параболоида вращения<br />
вокруг оси ОХ, радиус основания которого R, высота Н (рис. 47).<br />
Решение. Возьмем простейшее уравнение параболы<br />
у 2 = 2рх.<br />
165
Change language