полнотекстовый ресурс

1. Проверить справедливость формулы III.
Действительно
т. е. дифференциал правой части формулы III равен подинтегральному
выражению. Формула III верна при всяком п,
кроме п — — 1. При п = — 1 получили бы
Исторически понятие первообразной функции было тесно
связано с задачей об определении площади. Покажем, что первообразную
функцию можно истолковать как площадь криволинейной
трапеции, причем мы не будем входить в тонкости понятия
площади, а воспользуемся интуитивным представлением о
площади плоской фигуры.
Пусть дана на отрезке [a, b] непрерывная функция y — f(x).
Для простоты рассуждений предположим, что данная функция
принимает лишь неотрицательные значения. Рассмотрим фигуру
ABCD (рис. 2), ограниченную кривой y~f(x), двумя ординатами
x — а, x = b и отрезком (a, b) оси ОХ. Фигуру, подобную
фигуре АВСД, называют криволинейной трапецией.
Обозначим площадь этой фигуры через Р(а,ь)-Прежде чем
перейти к вычислению этой площади, рассмотрим площадь фичто
не имеет никакого смысла.
2. Проверим формулу V.
arctg — -I- С
а а dx =
Формула V верна.
1 • d x dx
(а2 + x 2)
а - ------- ,—
а2 - f x 2
Примечание.
держащем нуль:
Формула IV применима в любом промежутке, не со
при х~> 0 [ln je]1—
при х < 0 Jin (— х)]
х
Аналогично проверяется справедливость и остальных формул.
§ 4. Неопределенный интеграл и задача
об определении площади
12