полнотекстовый ресурс

Значит, и в том случае, когда т < и т /н е совпадают, пределом
Р ________________
(5) будет интеграл jVr[«p'(0]a+ [ф'(0]а^ - Итак, если кривая
а
линия задана уравнениями в параметрической форме
х = Ф (0,
у = iK O .
причем функции cp(t) и ip(t) и их производные cp'(t) и ф'(г') непрерывные,
то длина дуги L кривой выражается формулой
где а < t < р.
р
L — ]У [? й П ¥ И ? М Г 2 dt, (61 )
а
Подинтегральное выражение называется дифференциалом
дуги кривой и обозначается через dL\
dL — У [?'(/) l' + l W ) ] 2 d t = V {x t'Y + [yt’ fd t. (62)
Если кривая задана явным уравнением
у = f(x), а < * < Ь,
то, принимая х за параметр, получим:
и
dL— Y I +y'*9dx = У \ + у'9 dx,
ь
[ v w i ï ' d x , .
а
Получили прежний результат.
Длина дуги в полярных координатах
Иногда кривая бывает задана в полярных координатах
уравнением
Р = /(ф).
Прямоугольные координаты х н у связаны с полярными координатами
р и ф соотношениями
х = р cos ф,
у = р sin ф.
Эти уравнения можно рассматривать, как параметрические
уравнения кривой с параметром ф.
Перепишем дифференциал дуги кривой в виде:
dL - У ‘й Л 2Т 0 7 Р dt = у = y i d x f + [ d y f .
183