полнотекстовый ресурс

Из доказанной теоремы следует, что если найдена одна первообразная
функция F (х) для данной функции f(x), то все
остальные первообразные получаются из этой первообразной
по формуле:
F(x) + С,
где С — произвольная постоянная.
Самое общее выражение для первообразной функции имеет
вид F(x) f С и называется неопределенным интегралом от данной
функции f(x) или от данного дифференциала f(x)dx и
обозначается символом
Jf(x)dx.
Функция f(x) называется подинтегральной функцией, а
f(x)dx — подынтегральным выражением; \ — знак интеграла.
В силу доказанного, зная какую-либо первообразную функцию
для функции f(x), можно написать:
\f{x)dx = F(x) + С,
(I)
где С — произвольная постоянная, например,
Гcos xdx = sin x + С.
Здесь cos x — подинтегральная функция, cos xdx — подинтегральное
выражение.
Операция нахождения первообразной функции для данной
функции называется интегрированием этой функции. Дифференцирование
и интегрирование функций суть две взаимнообратные
операции.
Существует теорема, которая утверждает, что всякая непрерывная
на отрезке [a, b] функция f(x) имеет первообразную
функцию. Это значит, что всякая непрерывная на отрезке [a, b]
функция f(x) может рассматриваться как производная от некоторой
другой непрерывной функции F(x).
Доказательство этой теоремы приведем в конце этой главы.
Сформулированная теорема не утверждает, что первообразная
для данной функции может быть найдена с помощью конечного
числа арифметических действий и выражена в элементарных
функциях. Известно, например, что интегралы
Г sin x , f cos x , ? dx
\ , * ■ \ — dx- J T Ï Ï T " ''P -
не могут быть выражены с помощью конечного числа названных
выше операций над элементарными функциями. Но это уже
совсем другой вопрос: как отыскать для заданной непрерывной
функции f(x) ее первообразную F(х).
7