- Page 4 and 5: Г 95 517.2 «Интегральн
- Page 6 and 7: ставлены в более тр
- Page 8 and 9: В самом деле, пусть
- Page 10 and 11: Математический ана
- Page 12 and 13: Для доказательства
- Page 14 and 15: 1. Проверить справе
- Page 16 and 17: Таким образом, неоп
- Page 18 and 19: этого и вся рассмат
- Page 20 and 21: Сумма S', тоже назыв
- Page 22 and 23: очевидно, что при э
- Page 24 and 25: выражения (сумма пл
- Page 26 and 27: В этом и заключаетс
- Page 28 and 29: (j’ f(x)dx, а левая — [F(
- Page 30 and 31: Пример 3. Вычислить
- Page 32 and 33: Первый, второй и че
- Page 34 and 35: Пример 1. Найти f sin(0,
- Page 36 and 37: Решение. Умножим чи
- Page 38 and 39: Пример i. e%xdx ; j e~axdx.
- Page 40 and 41: Р с ш е н и e. du ] 4 + 9u2 )
- Page 42 and 43: Вычислить интеграл
- Page 44 and 45: Указание. Умножить
- Page 46 and 47: § 9. Метод подстанов
- Page 48 and 49: Подставляя вместо t
- Page 50 and 51: Подставляя в данны
- Page 52 and 53:
Вычислим первый ин
- Page 54 and 55:
Пример 12. Найти I -----
- Page 56 and 57:
который или находи
- Page 58 and 59:
2х — 5 = /2; x = ■ dx — tdt,
- Page 60 and 61:
17. f (bx — 2)dx 5 -------- 2 , _
- Page 62 and 63:
с л:2dx Г (х2+ а2) + а2 , (*
- Page 64 and 65:
К интегралу ^ x In xdx о
- Page 66 and 67:
3. ^arctgxdx. Отв. .varctgx —
- Page 68 and 69:
следовательно, ь ь j
- Page 70 and 71:
Последнему соотнош
- Page 72 and 73:
Действительно, на о
- Page 74 and 75:
значе жуточное зн
- Page 76 and 77:
Пример 2. Найти сред
- Page 78 and 79:
Р е ш е н и е . 1)г/: 2n 1
- Page 80 and 81:
Из наших рассужден
- Page 82 and 83:
Действительно, рас
- Page 84 and 85:
Выполняя подстанов
- Page 86 and 87:
находим dx и пределы
- Page 88 and 89:
Убедимся в справед
- Page 90 and 91:
тогда dx — 1/2 dz cos* z Д
- Page 92 and 93:
\ f(x)dx = — \ f(a— t)dt = \ f(
- Page 94 and 95:
В самом деле, при z =
- Page 96 and 97:
. f* cos® dv „ 4. \ ~---=—t---
- Page 98 and 99:
тогда . dx du — — , v = x.
- Page 100 and 101:
к/2 10. J cosmjc cos [m -J- 2)xdx.
- Page 102 and 103:
Подставляя в форму
- Page 104 and 105:
тогда а Г(а2— x2)ndx. fj
- Page 106 and 107:
4. Что называется не
- Page 108 and 109:
В этом случае говор
- Page 110 and 111:
Следовательно, по о
- Page 112 and 113:
Поэтому со оо a 2 _j_ р
- Page 114 and 115:
Дело в том, что все,
- Page 116 and 117:
дует сходимость ( с
- Page 118 and 119:
Пусть теперь а < 1, в
- Page 120 and 121:
пределу, равному 2,
- Page 122 and 123:
руемоіі на отрезке
- Page 124 and 125:
к пределам, устремл
- Page 126 and 127:
хованной фигуры и п
- Page 128 and 129:
Результат получилс
- Page 130 and 131:
приводится к интег
- Page 132 and 133:
Пределы интегриров
- Page 134 and 135:
Пример. Вычислить t
- Page 136 and 137:
Г r 6. \ е~^х cos 4 x dx. Отв
- Page 138 and 139:
торая представляет
- Page 140 and 141:
4 Если же мы эту пло
- Page 142 and 143:
откуда dx J 1+ я г 2 + 00
- Page 144 and 145:
когда f2(x) > fi(x) на да
- Page 146 and 147:
Вычислим каждый ин
- Page 148 and 149:
! Поэтому dS = ( 4,5 — у
- Page 150 and 151:
( у = 4х — 3 находим, ч
- Page 152 and 153:
Замечая, что при х =
- Page 154 and 155:
Пример 13. Вычислить
- Page 156 and 157:
Подставляя в уравн
- Page 158 and 159:
П р и м e p 19. Вычисли
- Page 160 and 161:
Назовем V* внутренн
- Page 162 and 163:
Переходя к пределу
- Page 164 and 165:
П р и м e p 3. Вычислит
- Page 166 and 167:
или d V = Я \ X2 dy. (55) с c
- Page 168 and 169:
Применяя формулу (54
- Page 170 and 171:
или Ну — rH — x(R— г) ;
- Page 172 and 173:
* у' из уравнения кр
- Page 174 and 175:
Интеграл взят по фо
- Page 176 and 177:
определение длины
- Page 178 and 179:
Интегрируя, получи
- Page 180 and 181:
' Пример 4. Найти дли
- Page 182 and 183:
Вычислим длину дуг
- Page 184 and 185:
Не трудно убедитьс
- Page 186 and 187:
Находим dx = cos ф dp — p
- Page 188 and 189:
положительными и о
- Page 190 and 191:
Дифференциал дуги
- Page 192 and 193:
Находим дифференци
- Page 194 and 195:
1 ми производными с
- Page 196 and 197:
10. Циклоида задана
- Page 198 and 199:
Аналогично напишем
- Page 200 and 201:
Решение. Р у будем в
- Page 202 and 203:
Тогда + а Р, =. 2 . j у I /
- Page 204 and 205:
вокруг оси ОХ и оси
- Page 206 and 207:
В дальнейшем будем
- Page 208 and 209:
Длина дуги полуокр
- Page 210 and 211:
Первая теорема Рул
- Page 212 and 213:
Тогда момент одной
- Page 214 and 215:
Решение. По формула
- Page 216 and 217:
Решение. В силу сим
- Page 218 and 219:
второе слагаемое м
- Page 220 and 221:
где я f (ij2s — yi2)dx и л
- Page 222 and 223:
Пример 9. Определит
- Page 224 and 225:
4. Найти центр тяжес
- Page 226 and 227:
Тогда К = i (х2—xi)y*dy. (
- Page 228 and 229:
В таком случае d L {h
- Page 230 and 231:
Полярный момент ин
- Page 232 and 233:
P е ш е и и e. d F = 2npdp. о
- Page 234 and 235:
М2, . . . , Мп-1, находящ
- Page 236 and 237:
где К — некоторая п
- Page 238 and 239:
получим: Полагая v,
- Page 240 and 241:
ГЛАВА IV ПРИБЛИЖЕНН
- Page 242 and 243:
образная функция и
- Page 244 and 245:
Формулы прямоуголь
- Page 246 and 247:
Другими словами, ра
- Page 248 and 249:
определения k. Функ
- Page 250 and 251:
откуда n / " (b) = Л Л « S
- Page 252 and 253:
Решение. Подинтегр
- Page 254 and 255:
двумя ординатами х
- Page 256 and 257:
п р о х о д я щ е й ч е
- Page 258 and 259:
Итак, по формуле Си
- Page 260 and 261:
могут быть равны ну
- Page 262 and 263:
откуда очевидно, чт
- Page 264 and 265:
Приведем еще одно з
- Page 266 and 267:
Докажем теперь, что
- Page 268 and 269:
Для доказательства
- Page 270 and 271:
то будем иметь след
- Page 272 and 273:
при одинаковых сте
- Page 274 and 275:
Замечание. Произво
- Page 276 and 277:
Решение. Делением ч
- Page 278 and 279:
Подставляя в это ра
- Page 280 and 281:
Покажем, как нужно
- Page 282 and 283:
откуда Зх2 + 5х + 12 1 5х
- Page 284 and 285:
или,- возвращаясь к
- Page 286 and 287:
x :i — 6 , л . x* + 4 3 л: \ -
- Page 288 and 289:
Тогда d x Vx2 — х + 2 (z 2
- Page 290 and 291:
Получили интеграл
- Page 292 and 293:
Примечание. Можно б
- Page 294 and 295:
Дифференцируя полу
- Page 296 and 297:
воспользуемся подс
- Page 298 and 299:
Беря производную и
- Page 300 and 301:
называется биномиа
- Page 302 and 303:
Возвращаясь к пере
- Page 304 and 305:
— V \ + X + x* 5. f _ L r J X V \
- Page 306 and 307:
или, принимая tg — =
- Page 308 and 309:
гралу от рациональ
- Page 310 and 311:
Пример 7. Вычислить
- Page 312 and 313:
§ 40. М етод приведен
- Page 314 and 315:
Второй интеграл на
- Page 316 and 317:
УПРАЖНЕНИЯ Вычисли
- Page 318 and 319:
6)^— = —— *1----- уравн
- Page 320 and 321:
32. Уравнение директ
- Page 322 and 323:
11 ) (sin и)' — cos и • и'.
- Page 324 and 325:
или dy. d2y _ d y dx ' dx2 ’ '
- Page 326 and 327:
ОГЛАВЛЕНИЕ От авто
- Page 328 and 329:
§ 3 1 . Формулы п р я м