полнотекстовый ресурс

ГЛАВА /
ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕН И 51
§ 1. Основные задачи интегрального исчисления
и неопределенный интеграл
Основная задача дифференциального исчисления заключается
в нахождении производной F'(x) = f(x) или дифференциала
dF(x) = f(x)dx данной функции F(x).
Рассмотрим теперь обратную задачу — задачу нахождения
функции по заданной ее производной или дифференциалу.
Пусть дана функция f(x) и нужно найти такую функцию
F(x), чтобы ее производная равнялась заданной функции f(x),
то есть, чтобы Ғ' (x) = f(x).
Функция F(х) называется первообразной функцией для
f(x) в данном промежутке, если во всем этом промежутке функция
f(x) является производной для F(х) или î(x)dx служит
дифференциалом для F(x) :F'(x) = f(x) или dF(x) —f(x)dx.
Если, например, f(x) = 2.v, то первообразная F (x) = x2.
Действительно,
F' (x) = (x2)' = 2x = f(x).
Рассмотрим еще один пример. Пусть дана производная
fix) = j — -2. Очевидно, что первообразной для данной функции
будет F(x) = arc tg x , потому что/7' (х )= (arcigх )'= 1 -j-
Задача отыскания первообразной функции F(x) по заданной
ее производной f(x) и является основной задачей интегрального
исчисления. Очевидно, что задача интегрального исчисления является
обратной задаче дифференциального исчисления.
В дальнейшем рассмотрим общие методы нахождения первообразной
функции. Интересно отметить, что задача нахождения
первообразной функции имеет не единственное решение, а бесчисленное
множество решений.