You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
тием Первообразной функции. С помощью этого метода, как мы<br />
уже имели достаточное количество примеров убедиться в этом,<br />
легко решались задачи интегрального исчисления. В самом деле,<br />
если на отрезке [а, Ь] нам удастся найти для функции f(x) первообразную<br />
F (х), то по формуле Лейбница— Ньютона<br />
ь<br />
j f(x)dx = F(b) — F(а)<br />
a<br />
вычисление интеграла сводится к вычислению разности двух<br />
значений известной нам функции F(x). Мы видели, что этот<br />
метод вычисления определенных интегралов оказывается простым<br />
и очень удобным для применения.<br />
С принципиальной точки зрения формула Лейбница-Ньютона<br />
применима к вычислению интеграла любой непрерывной функции,<br />
так как имеется теорема о существовании первообразной<br />
функции для любой непрерывной функции на заданном отрезке.<br />
Однако, одного существования первообразной функции F (х)<br />
еще недостаточно для применения формулы Лейбница— Ньютона:<br />
надо, чтобы эта первообразная функция F(x) была нам известна,<br />
т. е., чтобы мы могли находить ее приближенные значения<br />
с любой степенью точности и, кроме того, чтобы метод нахождения<br />
ее приближенных значений был бы достаточно простым<br />
и удобным. Если первообразная Ғ(х) является «элементарной»<br />
функцией, то для всех таких функций способы приближенного<br />
вычисления их значений хорошо разработаны.<br />
Однако существуют и такие интегралы, когда первообразные<br />
функции, хотя они и существуют, не являются «элементарными».<br />
О таких интегралах говорят, что они «не берутся в конечном<br />
виде», они не могут быть выражены через функции алгебраические,<br />
показательные, логарифмические и тригонометрические,<br />
прямые и обратные.<br />
Например, не берутся в конечном виде интегралы:<br />
_________ dx__________ . (‘ sin x<br />
e-x'-dx; \ - ,_ UA.............- ; [ sJ ^ L d x .<br />
. V] / I ( 1 I — х 2) ( 1 — k2x2) ’<br />
Первый из этих интегралов играет большую роль в теории вероятностей,<br />
второй (эллиптический интеграл первого рода)<br />
встречается во многих вопросах механики, третий (интеграл<br />
Френеля)— в теории интерференции. К этим интегралам мы<br />
уже не можем применить формулу Лейбница— Ньютона для их<br />
вычисления. Кроме того, иногда зависимость между переменными<br />
задается графически или с помощью таблицы; в этом<br />
случае тоже нельзя применить формулу Лейбница— Ньютона,<br />
так как не дается аналитическое выражение функциональной<br />
зависимости. Наконец, может оказаться, что найденная перво<br />
239
Change language