полнотекстовый ресурс

положительными и отрицательными. Значит, их алгебраическая
сумма равна нулю. Вот чем объясняется неверно полученный
результат. Чтобы получить правильный ответ, нужно перед интегралами,
взятыми в пределах ( ' / г , я) и (3/2я, 2л), у которых
подинтегральная функция отрицательна, поставить знак минус.
Тогда
2 п
f sin 2tdt
3/2*
- тс/2 тс 3/2тс
j sin 2 tdt— \ sin 2t d t ^ sin 2 td t—
L 0 it/2 it
3
— [(— cos it -f cos 0) + (cos 2 я — cos it) -f
+ (— COS 3rc + COS 2u ) -j- (cos 4т: — COS 3it ) ] =
= —/? (2 -f 2 + 2 + 2) = 6R.
4
Замечание. Пользуясь симметричным расположением астроиды
относительно осей координат, эту задачу можно решить гораздо
проще и быстрее. Достаточно вычислить длину дуги при
изменении параметра t от 0 до 7 а И полученный результат увеличить
в четыре раза:
о it/2 а п */?
L — — R- 4 Г sin 2tdt =* — [ co s21\ =»—3/?(costç— cos0)=6/?,
O J 9
^ о й о
Пример 3, Найти длину кривой (рис. 60),
&ГЧГ
(эволюта эллипса).
Уравнение эволюты эллипса можно написать в параметрической
форме:
— = co s3/,
а
b
= sin 3/.
Действительно, возведя обе части этих уравнений в степень,
равную 2/3, и складывая, получим
[Х \ 2/3 /„ N 2 /3
1 - 1 + = (cOS3/ ) 2/3+ (sin3/ ) 2/3= COS2/ + Sin2/ = 1 .
Вычислим длину дуги эволюты эллипса, пользуясь её параметрическими
уравнениями.
186