полнотекстовый ресурс

Первый, второй и четвертый интегралы напоминают табличные
интегралы (формулы II и III), а третий интеграл берется
по формуле IV. Пользуясь этими формулами, непосредственно
получаем:
j* (^ах — b + ~ + ^ ) dx = ^ ------ bx + p \n\x\ - kx -j- C.
Замечание. Мы брали здесь четыре неопределенных интеграла,
а произвольную постоянную обозначили лишь только одной
буквой С. Произвольную постоянную можно было бы прибавлять
в виде отдельного слагаемого после каждого интегрирования,
но поскольку сумма произвольных постоянных является
тоже произвольной постоянной, то для краткости записи эту
сумму обозначают одной буквой С, что и сделано в данном
примере.
Пример 2. Найти i (х:: - f 1) x2dx.
Решение.
получим:
Выполняя умножение под знаком интеграла,
f (x3 -f- I) x2dx — ^x'dx -f- ^ x2d x .
Полученные интегралы напоминают формулу III табличных интегралов,
поэтому
(г 1+ 1) x2dx — ( x&dx + Г x-dx — -I- хг' + х" + С. ( 1)
J J
Данный интеграл можно найти и другим способом. Заметив, что
1
d(x3 + ]) = 3x2dx, откуда x2d x = l} d(x* + I),
представим данный интеграл в виде
(.х -f I ) x2dx Г i r ; -j- I ) d (х' - f I ) ,
Полученный интеграл возьмем по формуле
и"du — + С, где и = х': + I .
^ (х3 + I) хЧ х = 1 f (х3 + \ ) d (x3 + I) = + С -
= l * n+ y x'+ îr + c- (2)
Сравнивая два полученных результата (1) и (2), найденные
двумя различными способами, видим, что они отличаются один