Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑÐµÐºÑÑÐ¾Ð²ÑÐ¹ ÑÐµÑÑÑÑ

More documents

Recommendations

Info

ставлены в более трудные условия для работы, чем студенты стационарных вузов. Студенты-заочники должны много работать самостоятельно. Вот почему самостоятельная работа студентов-заочников над курсом в период между сессиями приобретает особую важность. Студентам-заочникам необходимо оказать существенную помощь, дав в руки им такое учебное пособие, пользуясь которым можно было бы с успехом овладеть теорией изучаемого предмета и применить теорию к решению практических задач. Издаваемая книга «Интегральное исчисление» является одной из трех частей учебного пособия по курсу высшей математики, предназначенного для студентов-заочников втузов. Порядок изложения учебного материала в книге следующий. Сначала излагается теоретический материал, затем приводится целый ряд подробно решенных примеров, потом формулируются контрольные вопросы для повторения теории и, наконец, даются упражнения, содержащие достаточное количество примеров и задач, снабженных ответами для закрепления пройденного теоретического материала и приобретения твердых практических навыков. Для облегчения решения задач и примеров дается список наиболее употребительных формул из аналитической геометрии и дифференциального исчисления.
ГЛАВА / ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕН И 51 § 1. Основные задачи интегрального исчисления и неопределенный интеграл Основная задача дифференциального исчисления заключается в нахождении производной F'(x) = f(x) или дифференциала dF(x) = f(x)dx данной функции F(x). Рассмотрим теперь обратную задачу — задачу нахождения функции по заданной ее производной или дифференциалу. Пусть дана функция f(x) и нужно найти такую функцию F(x), чтобы ее производная равнялась заданной функции f(x), то есть, чтобы Ғ' (x) = f(x). Функция F(х) называется первообразной функцией для f(x) в данном промежутке, если во всем этом промежутке функция f(x) является производной для F(х) или î(x)dx служит дифференциалом для F(x) :F'(x) = f(x) или dF(x) —f(x)dx. Если, например, f(x) = 2.v, то первообразная F (x) = x2. Действительно, F' (x) = (x2)' = 2x = f(x). Рассмотрим еще один пример. Пусть дана производная fix) = j — -2. Очевидно, что первообразной для данной функции будет F(x) = arc tg x , потому что/7' (х )= (arcigх )'= 1 -j- Задача отыскания первообразной функции F(x) по заданной ее производной f(x) и является основной задачей интегрального исчисления. Очевидно, что задача интегрального исчисления является обратной задаче дифференциального исчисления. В дальнейшем рассмотрим общие методы нахождения первообразной функции. Интересно отметить, что задача нахождения первообразной функции имеет не единственное решение, а бесчисленное множество решений.
Page 2 and 3: г И С Ч И С Л Е Н И Е m
Page 4 and 5: Г 95 517.2 «Интегральн
Page 8 and 9: В самом деле, пусть
Page 10 and 11: Математический ана
Page 12 and 13: Для доказательства
Page 14 and 15: 1. Проверить справе
Page 16 and 17: Таким образом, неоп
Page 18 and 19: этого и вся рассмат
Page 20 and 21: Сумма S', тоже назыв
Page 22 and 23: очевидно, что при э
Page 24 and 25: выражения (сумма пл
Page 26 and 27: В этом и заключаетс
Page 28 and 29: (j’ f(x)dx, а левая — [F(
Page 30 and 31: Пример 3. Вычислить
Page 32 and 33: Первый, второй и че
Page 34 and 35: Пример 1. Найти f sin(0,
Page 36 and 37: Решение. Умножим чи
Page 38 and 39: Пример i. e%xdx ; j e~axdx.
Page 40 and 41: Р с ш е н и e. du ] 4 + 9u2 )
Page 42 and 43: Вычислить интеграл
Page 44 and 45: Указание. Умножить
Page 46 and 47: § 9. Метод подстанов
Page 48 and 49: Подставляя вместо t
Page 50 and 51: Подставляя в данны
Page 52 and 53: Вычислим первый ин
Page 54 and 55: Пример 12. Найти I -----
Page 56 and 57:
который или находи
Page 58 and 59:
2х — 5 = /2; x = ■ dx — tdt,
Page 60 and 61:
17. f (bx — 2)dx 5 -------- 2 , _
Page 62 and 63:
с л:2dx Г (х2+ а2) + а2 , (*
Page 64 and 65:
К интегралу ^ x In xdx о
Page 66 and 67:
3. ^arctgxdx. Отв. .varctgx —
Page 68 and 69:
следовательно, ь ь j
Page 70 and 71:
Последнему соотнош
Page 72 and 73:
Действительно, на о
Page 74 and 75:
значе жуточное зн
Page 76 and 77:
Пример 2. Найти сред
Page 78 and 79:
Р е ш е н и е . 1)г/: 2n 1
Page 80 and 81:
Из наших рассужден
Page 82 and 83:
Действительно, рас
Page 84 and 85:
Выполняя подстанов
Page 86 and 87:
находим dx и пределы
Page 88 and 89:
Убедимся в справед
Page 90 and 91:
тогда dx — 1/2 dz cos* z Д
Page 92 and 93:
\ f(x)dx = — \ f(a— t)dt = \ f(
Page 94 and 95:
В самом деле, при z =
Page 96 and 97:
. f* cos® dv „ 4. \ ~---=—t---
Page 98 and 99:
тогда . dx du — — , v = x.
Page 100 and 101:
к/2 10. J cosmjc cos [m -J- 2)xdx.
Page 102 and 103:
Подставляя в форму
Page 104 and 105:
тогда а Г(а2— x2)ndx. fj
Page 106 and 107:
4. Что называется не
Page 108 and 109:
В этом случае говор
Page 110 and 111:
Следовательно, по о
Page 112 and 113:
Поэтому со оо a 2 _j_ р
Page 114 and 115:
Дело в том, что все,
Page 116 and 117:
дует сходимость ( с
Page 118 and 119:
Пусть теперь а < 1, в
Page 120 and 121:
пределу, равному 2,
Page 122 and 123:
руемоіі на отрезке
Page 124 and 125:
к пределам, устремл
Page 126 and 127:
хованной фигуры и п
Page 128 and 129:
Результат получилс
Page 130 and 131:
приводится к интег
Page 132 and 133:
Пределы интегриров
Page 134 and 135:
Пример. Вычислить t
Page 136 and 137:
Г r 6. \ е~^х cos 4 x dx. Отв
Page 138 and 139:
торая представляет
Page 140 and 141:
4 Если же мы эту пло
Page 142 and 143:
откуда dx J 1+ я г 2 + 00
Page 144 and 145:
когда f2(x) > fi(x) на да
Page 146 and 147:
Вычислим каждый ин
Page 148 and 149:
! Поэтому dS = ( 4,5 — у
Page 150 and 151:
( у = 4х — 3 находим, ч
Page 152 and 153:
Замечая, что при х =
Page 154 and 155:
Пример 13. Вычислить
Page 156 and 157:
Подставляя в уравн
Page 158 and 159:
П р и м e p 19. Вычисли
Page 160 and 161:
Назовем V* внутренн
Page 162 and 163:
Переходя к пределу
Page 164 and 165:
П р и м e p 3. Вычислит
Page 166 and 167:
или d V = Я \ X2 dy. (55) с c
Page 168 and 169:
Применяя формулу (54
Page 170 and 171:
или Ну — rH — x(R— г) ;
Page 172 and 173:
* у' из уравнения кр
Page 174 and 175:
Интеграл взят по фо
Page 176 and 177:
определение длины
Page 178 and 179:
Интегрируя, получи
Page 180 and 181:
' Пример 4. Найти дли
Page 182 and 183:
Вычислим длину дуг
Page 184 and 185:
Не трудно убедитьс
Page 186 and 187:
Находим dx = cos ф dp — p
Page 188 and 189:
положительными и о
Page 190 and 191:
Дифференциал дуги
Page 192 and 193:
Находим дифференци
Page 194 and 195:
1 ми производными с
Page 196 and 197:
10. Циклоида задана
Page 198 and 199:
Аналогично напишем
Page 200 and 201:
Решение. Р у будем в
Page 202 and 203:
Тогда + а Р, =. 2 . j у I /
Page 204 and 205:
вокруг оси ОХ и оси
Page 206 and 207:
В дальнейшем будем
Page 208 and 209:
Длина дуги полуокр
Page 210 and 211:
Первая теорема Рул
Page 212 and 213:
Тогда момент одной
Page 214 and 215:
Решение. По формула
Page 216 and 217:
Решение. В силу сим
Page 218 and 219:
второе слагаемое м
Page 220 and 221:
где я f (ij2s — yi2)dx и л
Page 222 and 223:
Пример 9. Определит
Page 224 and 225:
4. Найти центр тяжес
Page 226 and 227:
Тогда К = i (х2—xi)y*dy. (
Page 228 and 229:
В таком случае d L {h
Page 230 and 231:
Полярный момент ин
Page 232 and 233:
P е ш е и и e. d F = 2npdp. о
Page 234 and 235:
М2, . . . , Мп-1, находящ
Page 236 and 237:
где К — некоторая п
Page 238 and 239:
получим: Полагая v,
Page 240 and 241:
ГЛАВА IV ПРИБЛИЖЕНН
Page 242 and 243:
образная функция и
Page 244 and 245:
Формулы прямоуголь
Page 246 and 247:
Другими словами, ра
Page 248 and 249:
определения k. Функ
Page 250 and 251:
откуда n / " (b) = Л Л « S
Page 252 and 253:
Решение. Подинтегр
Page 254 and 255:
двумя ординатами х
Page 256 and 257:
п р о х о д я щ е й ч е
Page 258 and 259:
Итак, по формуле Си
Page 260 and 261:
могут быть равны ну
Page 262 and 263:
откуда очевидно, чт
Page 264 and 265:
Приведем еще одно з
Page 266 and 267:
Докажем теперь, что
Page 268 and 269:
Для доказательства
Page 270 and 271:
то будем иметь след
Page 272 and 273:
при одинаковых сте
Page 274 and 275:
Замечание. Произво
Page 276 and 277:
Решение. Делением ч
Page 278 and 279:
Подставляя в это ра
Page 280 and 281:
Покажем, как нужно
Page 282 and 283:
откуда Зх2 + 5х + 12 1 5х
Page 284 and 285:
или,- возвращаясь к
Page 286 and 287:
x :i — 6 , л . x* + 4 3 л: \ -
Page 288 and 289:
Тогда d x Vx2 — х + 2 (z 2
Page 290 and 291:
Получили интеграл
Page 292 and 293:
Примечание. Можно б
Page 294 and 295:
Дифференцируя полу
Page 296 and 297:
воспользуемся подс
Page 298 and 299:
Беря производную и
Page 300 and 301:
называется биномиа
Page 302 and 303:
Возвращаясь к пере
Page 304 and 305:
— V \ + X + x* 5. f _ L r J X V \
Page 306 and 307:
или, принимая tg — =
Page 308 and 309:
гралу от рациональ
Page 310 and 311:
Пример 7. Вычислить
Page 312 and 313:
§ 40. М етод приведен
Page 314 and 315:
Второй интеграл на
Page 316 and 317:
УПРАЖНЕНИЯ Вычисли
Page 318 and 319:
6)^— = —— *1----- уравн
Page 320 and 321:
32. Уравнение директ
Page 322 and 323:
11 ) (sin и)' — cos и • и'.
Page 324 and 325:
или dy. d2y _ d y dx ' dx2 ’ '
Page 326 and 327:
ОГЛАВЛЕНИЕ От авто
Page 328 and 329:
§ 3 1 . Формулы п р я м
show all

Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑÐµÐºÑÑÐ¾Ð²ÑÐ¹ ÑÐµÑÑÑÑ

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑÐµÐºÑÑÐ¾Ð²ÑÐ¹ ÑÐµÑÑÑÑ