полнотекстовый ресурс

гралу от рациональной дроби при помощи подстановки z*=tgx.
Рассмотрим несколько примеров, позволяющих применить указанную
подстановку.
, г"> d х
Пример 4. Вычислить интеграл \ ------„----------------•
•' a c o sx + b sin -x
1
Решение. В данном примере /?\Sin x, cosx' = acos2x+bsin2x
не изменится при замене sin х на —sin х и cos х на —cos х.
Поэтому для вычисления данного интеграла применим подстановку
Z — tg X.
d x
i* _____d x______ ç rns2x i’ dz
->a cos2* cos2x + b sin2x sin2* •'a -\-b tg2x • a + bz2
= arctg Х ^ У ^ -tgxj + C .
I ab
dx
Пример 5. Вычислить интеграл ^ 5~-|_cos2x
Решение. Применим подстановку z = tg x.
Тогда
.
dx =
dz
------------,
„ 1
cos\v = = -----------;
1 + г 2 1 + z 2.
r dx r dz ? dz
■ 5 4 -cos2 x • (, + г і ) / 5 _|-------- !----- \
\ 1 + г* /
5za + б
arctg \ / — z-\- C = - arctg ( V — tg x ] 4 - C-
V30 УG ]/3Ô \ V6 1
Примечание. Этот же интеграл можно вычислить иначе.
dx
Г dx _ Г dx _ dx _ Г cos2#
J 5 -fco s2x J 5(cos2a- -f- sin2a;) + cos2a- J 6cos2a;-j-5sin2æ J 6 + 5 tg V
= i b w = k arctg V I z+ c= щ arctg ( / 1 H +c ■
где e = tg x.
307