Haushaltsbefragung - Diakonisches Werk Braunschweig

GOE-Studien S. 327
Kurze Erläuterung der wichtigsten statistischen Begriffe
1. Mittelwert
Der Mittelwert ist ein Maß der zentralen
Tendenz, d.h. er gibt einen
Durchschnittswert einer Werteverteilung
an. Er wird durch die Addition
aller Einzelwerte und anschließende
Division dieser Summe durch
die Anzahl der Werte berechnet. In
unserem Beispiel 1 (Altersdurchschnitt
einer vierköpfigen Familie)
27 + 24 + 2 + 75
M =
= 32,
0
4
Jeder Wert geht mit gleichem Gewicht
in die Berechnung ein. Dies
kann dazu führen, dass der Mittelwert
von dem Zentrum der Verteilung
abweicht, wenn Ausreißer vorliegen:
Der Mittelwert ist eine ausreißersensible
Kenngröße. In unserem
Beispiel liegt so der Mittelwert
2. Median
Auch der Median ist ein Maß der zentralen Tendenz. Er wird
berechnet, indem man alle Messwerte in ihrer natürlichen
Reihenfolge anordnet und daraufhin den mittleren Wert auszählt.
In unserem Beispiel errechnet sich der Median also fol-
Stichprobe in ursprünglicher
Reihenfolge:
Stichprobe sortiert:
Auswahl des Medians:
mittlerer Wert der Reihe
Vater:
27 Jahre
Kind:
2 Jahre
Mutter:
24 Jahre
Mutter:
24 Jahre
0-5 Jahre
11-15 Jahre
21-25 Jahre
31-35 Jahre
41-45 Jahre
51-55 Jahre
61-65 Jahre
70-75 Jahre
Hier fällt auf, dass zahlenmäßig nur der mittlere Wert (bzw.
die beiden mittleren Werte) verwendet werden: ob die Großmutter
75 oder 95 Jahre alt ist, hat keinen Einfluss auf den
Zahlenwert des Medians. Dies erscheint zunächst als Nachteil,
führt aber dazu, dass der Median nicht ausreißersensibel
ist. Wie Abbildung 1 zeigt, führt bereits in unserem Beispiel
mit nur vier Messwerten der Median zu einem plausibleren
Ergebnis als der Mittelwert.
Abbildung 1: Altersverteilung eines
Haushaltes mit vier Mitgliedern
0 1 2
Kind:
2 Jahre
Vater:
27 Jahre
Bei gerader Anzahl von Elementen den
Wert zwischen den beiden mittleren
Elementen:
25,5 Jahre
Anzahl
Median: 25,5
Mittelwert: 32,0
Familienmitglied Alter
Vater 27 Jahre
Mutter 24 Jahre
1. Kind 2 Jahre
Großmutter 75 Jahre
Mittelwert 32,0 Jahre
Median 25,5 Jahre
Großmutter:
75 Jahre
Großmutter:
75 Jahre
Abbildung 2 zeigt eine größere
Messreihe mit 2349 Altersangaben.
Die Werteverteilung ist leicht linksschief,
d.h. die Verteilung steigt auf
ihrer linken Seite steiler an und
breitet sich nach rechts weiter aus
(eine natürliche Tendenz bei Verteilungen,
die einen absoluten Nullwert
umfassen, wie dies bei der
Variable „Alter“ der Fall ist). Auch
hier ergibt der Median eine (etwas)
bessere Schätzung der zentralen
Tendenz als der Mittelwert.
Obwohl das Konzept des Medians
noch einfacher ist als das Konzept
des Mittelwertes, erfordert die
Bestimmung des Medians bei größeren
Stichproben einen hohen
Aufwand, da zunächst alle Daten in
ihrer Reihenfolge sortiert werden
müssen, was beim Mittelwert nicht
notwendig ist. Deshalb hat sich die
Verwendung des Medians in der
Statistik erst in den letzten zwanzig
Jahren (mit dem Einzug der Computer)
durchgesetzt.