Thesis - RWTH Aachen University

112 5.3 Verhaltenskoordination
Vorgängerknoten die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Zustände des betreffenden Knotens.
Damit lässt sich nach Heckerman [Hec95] ein BBN für eine Menge von Variablen {Z1, . . . , Zn}
definieren durch (Abbildung 5.6):
• eine Netzwerkstruktur, welche die Abhängigkeiten zwischen den Zufallsvariablen beschreibt,
und
• eine Menge von bedingten Wahrscheinlichkeiten, welches einer cpt pro Knoten entspricht.
p(C|A,B)
p(C|−A,B)
p(C|A,−B)
p(C|−A,−B)
p(A) p(B) p(D)
A B D
cpt Knoten C
cpt Knoten E
C E
p(E|B,D)
p(E|−B,D)
p(E|B,−D)
p(E|−B,−D)
Abbildung 5.6: Beispiel eines Bayesian Belief Networks
Im Allgemeinen wird die Wahrscheinlichkeit für ein Verbundereignis mit der Kettenregel berechnet:
p(Z1, Z2, . . . , Zk) = p(Z1)
k�
p(Zi|Zi−1, . . . , Z1) (5.1)
Unter der Berücksichtigung, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Knotens nur von den Wahrscheinlichkeiten
seiner direkten Vorgänger P(Zi) abhängt, wobei P(Zi) die Menge der Vorgänger
von Knoten i darstellt, ergibt sich eine vereinfachte Bestimmung der Wahrscheinlichkeit:
p(Z1, Z2, . . . , Zk) =
i=2
k�
p(Zi|P(Zi)) (5.2)
Die Werte von p(Zi|P(Zi)) sind in der cpt vom i-ten Knoten gegeben. Durch die vereinfachte Bestimmung
der Wahrscheinlichkeit reduziert sich die Größe der zugehörigen cpt und damit ergibt sich eine
erhebliche Reduktion in der notwendigen Berechnung. Hat ein Knoten keinen direkten Vorgänger, ist
also die zugehörige Zufallsvariable stochastisch unabhängig, wird anstatt einer cpt nur eine a priori
Wahrscheinlichkeit angegeben:
p(Zi|P(Zi)) = p(Zi)
Unter Inferenz in einem BBN wird das Schließen unter Zuhilfenahme von a priori Wissen über die
Zustände einiger Knoten auf die Wahrscheinlichkeit eines Zustands eines anderen Knotens verstanden.
Der gesuchte Knoten ist im Allgemeinen nicht direkt beobachtbar, über ihn liegt deshalb kein
direktes Wissen vor. Es ist aber für eine Teilmenge der Knoten eines BBN der Wert der zugehörigen
Zufallsvariable bekannt oder kann wenigstens mit einer Wahrscheinlichkeit (Likelihood) angegeben
werden.
i=1