Thesis - RWTH Aachen University

C.2 Epipolare Geometrie 197
und
αl =
βl = (
γl =
Sonderfälle sind δ0 und δk−2 mit
2
tl+1 − tl
4
tl+1 − tl
2
tl+2 − tl+1
+
4
tl+2 − tl+1
δl = 6(θi(tl+2) − θi(tl+1))
(tl+2 − tl+1) 2
δ0 = 6(θi(t2) − θi(t1))
(t2 − t1) 2
δk−2 = 6(θi(tk) − θi(tk−1))
(tk − tk−2) 2
)
+ 6(θi(tl+1) − θi(tl))
(tl+1 − tl) 2
+ 6(θi(t1) − θi(t0))
(t1 − t0) 2 − 2
t1 − t0
+ 6(θi(tk−1) − θi(tk−2))
(tk−1 − tk−2) 2
Dann sind die Gelenkgeschwindigkeiten an den Stützstellen:
−
˙θi(t0)
2
tk − tk−1
˙θi(tk−2)
(C.49)
(C.50)
�˙θi = A −1� b (C.51)
Die Parameter der Trajektorie können anschließend aus Gleichungssystem C.43 berechnet werden.
Diese Berechnung setzt voraus, dass die Zeit bekannt ist, um von einer Stützstelle zur nächsten zu gelangen.
Meistens steht diese Zeit nicht vorab fest, es ist jedoch erwünscht, die Trajektorie so schnell
wie möglich auszuführen. Die Ausführungszeit der Trajektorie wird aber von der maximal möglichen
Manipulatorgeschwindigkeit begrenzt. Deswegen wird in dieser Arbeit zu Beginn die Trajektorie mit
einem geringen Zeitwert von 0,5 sec pro Abschnitt berechnet. Ist in einem Trajektorieabschnitt die errechnete
maximale Geschwindigkeit (siehe auch Gleichungen C.39 und C.41) größer als die maximal
mögliche Geschwindigkeit des Manipulators, dann wird die Zeit für die Ausführung des entsprechenden
Zeitabschnittes um einen konstanten Zeitschritt erhöht. Nach Überprüfung aller Abschnitte wird
die Trajektorieberechnung nach Gleichungen C.51 und C.43 und die Überprüfung der maximalen Geschwindigkeit
wiederholt, bis kein Abschnitt eine höhere Geschwindigkeit als die maximal mögliche
aufweist.
Die errechnete Trajektorie wird anschließend mit einem P-Regler ausgeführt. Sei θi(t) die berechnete
Position, ˙ θi(t) die berechnete Geschwindigkeit und θ ′ i(t) die tatsächliche Position von Gelenk i zu
Zeitpunkt t. Dann versucht der P-Regler den Positionsfehler zu minimieren:
˙θ ′ i(t) = ˙ θi(t) + kp(θi(t) − θ ′ i(t)) (C.52)
wobei kp der Verstärkungsfaktor des P-Reglers ist, der experimentell ermittelt wurde.
Die berechnete Geschwindigkeit ˙ θ ′ i(t) wird anschließend zur Motorregelung des i-ten Gelenks übertragen.
C.2 Epipolare Geometrie
Aus einer bekannten geometrischen Anordnung zweier Kameras lässt sich eine wirkungsvolle Einschränkung
in Bezug auf die Lage der Abbildungen eines Raumpunktes in den Bildebenen ableiten 8 .
8 Vergleiche hierzu auch Abschnitt 4.2.1.