Thesis - RWTH Aachen University

C.7 Bayesian Belief Networks 209
Die Werte von p(Zi|P(Zi)) sind in der cpt vom i-ten Knoten gegeben. Durch die vereinfachte Bestimmung
der Wahrscheinlichkeit reduziert sich die Größe der zugehörigen cpt und damit ergibt sich eine
erhebliche Reduktion in der notwendigen Berechnung. Hat ein Knoten keinen direkten Vorgänger, ist
also die zugehörige Zufallsvariable stochastisch unabhängig, wird anstatt einer cpt nur eine a priori
Wahrscheinlichkeit angegeben:
p(Zi|P(Zi)) = p(Zi)
C.7.1 Inferenz in einem BBN
Unter Inferenz in einem BBN wird das Schließen unter Zuhilfenahme von dem gegebenen Wissen
über die Zustände einiger Knoten auf die Wahrscheinlichkeit eines Zustands eines anderen Knotens
verstanden. Der gesuchte Knoten ist normalerweise nicht direkt beobachtbar, über ihn liegt deshalb
kein direktes Wissen vor. Im Normalfall aber ist für eine Teilmenge der Knoten eines BBN der Wert
der zugehörigen Zufallsvariable bekannt oder kann wenigstens mit einer Wahrscheinlichkeit (Likelihood)
angegeben werden.
Nach Charniak [Cha91] sind die bekannten Inferenzalgorithmen in exakte (exact) und approximierte
(approximate) Inferenz zu unterteilen. Bei der exakten Inferenz wird nach der Richtung des Schließens
zwischen Top-down-Inferenz und Bottom-up-Inferenz unterschieden. Top-down- oder kausale
Inferenz liegt vor, wenn die Werte der Vorgänger eines Knotens bekannt sind und eine Wahrscheinlichkeit
für den Knoten selbst gesucht ist. In dem Sinne verursachen die Werte der Vorgängerknoten
den Wert des Ausgangsknotens 16 . Ein solcher Fall ist beispielweise bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit
p(C|A) in dem BBN aus Abbildung C.18 zu sehen. Wenn man die Knoten der Einfachheit
halber als boolsche Variablen auffasst, ergibt sich durch Aufsummieren über die möglichen Zustände
aller übrigen Vorgänger:
p(C|A) = p(C, B|A) + p(C, ¬B|A)
Aus Gleichung C.73 folgt:
p(C|A) = p(C|B, A)p(B|A)
� �� �
p(C,B|A)
+ p(C|¬B, A)p(¬B|A)
� �� �
p(C,¬B|A)
Mit Hilfe von Gleichung C.74 und der Tatsache, dass A und B keine Vorgänger haben, ergibt sich:
p(C|A) = p(C|B, A)p(B) + p(C|¬B, A)p(¬B)
Alle Wahrscheinlichkeiten auf der rechten Seite sind in den entsprechenden cpts oder als a priori
Wahrscheinlichkeit gegeben. Durch Einsetzen in die entsprechenden Terme kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit
p(C|A) berechnet werden.
Die Bottom-up-Inferenz geht davon aus, dass der Zustand eines Knotens bekannt ist und eine Wahrscheinlichkeit
für einen Vorgänger gesucht wird. Da hierbei die Auswirkung bekannt ist und der
Grund hierfür gesucht wird, spricht man auch von diagnostischer Inferenz. Die gesuchte bedingte
Wahrscheinlichkeit muss mit dem Bayes-Theorem umgeformt werden, weil bei der Angabe einer cpt
die Kenntnis des Zustandes der Vorgängerknoten vorausgesetzt wird. Das Bayes-Theorem lautet in
allgemeiner Form:
p(ai|b) = p(b|ai)p(ai)
�
j p(b|aj)p(aj)
(C.75)
16 In dieser Arbeit den Wert der Anwendbarkeit eines Verhaltens.