Thesis - RWTH Aachen University

212 C.7 Bayesian Belief Networks
wiederum eine Dirichletverteilung mit angepassten Exponenten N ′
k +Nk und einer neuen Normalisierungskonstante
c ′ . Damit beschreiben diese Exponenten den Wissensstand eines Knotens, der angibt,
wie oft welcher Fall gelernt wurde. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im nächsten Fall der Zustand
Z = Zk beobachtet wird, ergibt sich durch Berechnung des Erwartungswertes der Dirichletverteilung
zu:
p(Z = Zk) = E(θZ=Zk ) =
Das entspricht dem aktualisierten Eintrag in der cpt.
� r
Weiterhin ist die Varianz der Dirichletverteilung gegeben durch:
N ′
k
′
k=1 N k
V ar(θZ=Zk ) = p(Z = Zk) (1 − p(Z = Zk))
�r ′
N + 1
Ein Maß für das Vertrauen in Θx ist die Gesamtanzahl der gelernten Fälle � r
k=1
gelernt werden, desto geringer wird die Varianz.
k=1
k
(C.82)
(C.83)
′
N k . Je mehr Fälle
Diese Art des Lernens eines einzelnen Knotens lässt sich auf ein gesamtes BBN übertragen. Hierzu ist
jedoch die Annahme der so genannten Parameterunabhängigkeit (Parameter Independence) notwendig
[Hec95]. Für den Fall, dass zwei Knoten X und Y existieren und Y von X abhängt, erhält man drei
Wahrscheinlichkeitsverteilungen, θX, θY |X und θY |¬X. Allgemein müssten sich auch die Verteilungen
θY |X und θY |¬X ändern, wenn die Verteilung θX angepasst wird. Unter Berücksichtigung der Annahme
der Parameterunabhängigkeit entfällt die beschriebene Abhängigkeit und die cpts der einzelnen
Knoten können separat voneinander, nacheinander angepasst werden. Die Unabhängigkeitsannahme
betrifft nicht die Abhängigkeit der Zufallsvariable Y von X.
Jeder Knoten des Netzwerks besitzt für jede mögliche Konfiguration j der Zustände der Elternknoten
eine entsprechende a priori Wahrscheinlichkeitsverteilung Θij. Dann ist nach Erlernen der Datenmenge
D unter der Voraussetzung einer Dirichletverteilung:
p(Θij|D) = c
′ �
k
θ Nijk ′ +Nijk−1
ijk
(C.84)
Nijk ist die Anzahl aller Fälle in D mit Zi = Zk und der Konfiguration j der Zustände der Elternknoten.
Pro beobachteten Fall wird immer nur die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung
aktualisiert, während alle anderen unverändert bleiben.