Thesis - RWTH Aachen University

C.1 Theoretische Grundlagen der Manipulatorkinematik 187
Für die Beschreibung der Kinematik eines Manipulators wird jedem Gelenk ein Koordinatensystem
zugeordnet und seine Lageänderung bezüglich des vorherigen Gelenkes beschrieben. Als Manipulator-Basis
wird ein Segment 0 vereinbart, das selbst keine Bewegungsmöglichkeit besitzt und dessen
Position von den Bewegungen der Gelenke nicht beeinflußt wird. Segment 0 dient zur Plazierung des
Roboterarmes in dem umgebendem System. Dadurch kann die Position des letzten, n-ten Gelenkes
(Greifer) über die nacheinanderfolgende Berechnung der Position der i vorherigen Gelenke,bezüglich
der Manipulator Basis berechnet werden. Durch die Beschreibung der Robotergelenke im Koordinatensystem
des direkten Vorgängergelenkes erhält man eine Darstellung für die Transformationmatrix
0
nT des letzten Gelenkes zur Manipulator Basis. 0 nT ist nur noch von den Gelenkwinkeln abhängig
und ist durch eine einfache Matrixmultiplikation zu berechnen:
0
n T = 0 1 T 1 2
n−1
T . . . n T (C.16)
wobei i−1
i T die homogene Transformationsmatrix des Koordinatensystems des Gelenkes i zu Gelenk
i−1 ist. Entsprechend ist die Lage des i-ten Gelenkes zur Manipulator-Basis, die mit 0 gekennzeichnet
ist:
0
i T = 0 1 T 1 2
i−1
T . . . T (C.17)
Um die geometrische Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen des Roboterarmes zu beschreiben,
hat sich im Laufe der Zeit ein Verfahren durchgesetzt, das ursprünglich von Denavit und
Hartenberg [DH55] zur Beschreibung von starren mechanischen Körpern eingeführt wurde. Abhängig
davon, ob man die Koordinatensysteme relativ zum vorherigen Gelenk definiert bzw. auch das nächste
Gelenk bei der Definition verwendet, unterscheidet man zwischen dem DH- und dem modifizierten
DH-Verfahren.
Dabei werden die Koordinatensysteme nach einer bestimmten Vorschrift pro Gelenk definiert. Die
zi-Achse des Koordinantensystems des i-ten Gelenkes stimmt mit der Rotationsachse des Gelenkes i
(DH) bzw. i + 1 (modifiziertes DH) überein. Die xi-Achse ist dann senkrecht zur Ebene von zi und
zi+1 (DH) bzw. zi und zi−1 (modifiziertes DH) mit Richtung von i zu i + 1 definiert. Die yi-Achse
wird nach einem rechtshändigen Koordinatensystem definiert. Abbildung C.6 zeigt die Koordinatensysteme
der Gelenke des bei in dieser Arbeit eingesetzten Manipulators, während Abbildung C.7 die
Koordinatensysteme zweier nacheinanderfolgender Gelenke im allgemeinen Fall präsentiert.
Die Parameter des Verfahrens drücken die geometrischen Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
bzw. ihre relative Lage aus. Pro Gelenk und Koordinatensystem sind vier Parameter definiert
(Abbildung C.7):
ai ist die Distanz von zi zu zi+1 entlang der Achse xi.
αi ist der Winkel zwischen zi und zi+1 um xi.
θi ist der Winkel zwischen xi und xi−1 um zi 4 .
di ist die Distanz von xi zu xi−1 entlang zi.
Dann ergibt sich die Lage des Koordinatensystems des Gelenkes i zu Gelenk i − 1 nach:
⎡
⎤
cos(θi) − sin(θi) 0 ai−1
⎢
i−1
i T = ⎢sin(θi)
cos(αi−1) cos(θi) cos(αi−1) − sin(αi−1) − sin(αi−1) di ⎥
⎣sin(θi)
sin(αi−1) cos(θi) sin(αi−1) cos(αi−1) cos(αi−1) di ⎦
0 0 0 1
4 Bei Manipulatoren mit ausschließlich rotatorischen Gelenken entspricht θi dem Winkelwert von Gelenk i.
i
(C.18)