Thesis - RWTH Aachen University

208 C.7 Bayesian Belief Networks
C.7 Bayesian Belief Networks
Ein Bayesian Belief Network (BBN) ist ein gerichteter azyklischer Graph (Directed Acyclic Graph -
DAG), der die Verbundwahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das von mehreren Zufallsvariablen abhängt,
effizient repräsentiert [Cha91]. Bestandteile eines BBN sind Knoten, die Zufallsvariablen darstellen,
und gerichtete Kanten, die Abhängigkeiten zwischen den Knoten modellieren. Die Zufallsvariablen
können sowohl unendlich viele Werte mit einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung
oder eine endliche Anzahl von Zuständen mit einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung
annehmen. Häufig wird auch der Sonderfall eines boolschen Knotens mit zwei diskreten Zuständen
verwendet.
Eine Zufallsvariable hängt von den Zuständen seiner Vorgängerknoten im Graphen ab. Besitzt sie
keinen Vorgänger, ist sie stochastisch unabhängig. Die zugehörige bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung
wird im kontinuierlichen Fall als Funktion und im diskreten in der so genannten Conditional
Probability Table (cpt) angegeben. Diese enthält für jede mögliche Kombination der Zustände der
Vorgängerknoten die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Zustände des betreffenden Knotens.
Damit lässt sich nach Heckerman [Hec95] ein BBN für eine Menge von Variablen {Z1, . . . , Zn}
definieren durch (Abbildung C.18):
• eine Netzwerkstruktur, welche die Abhängigkeiten zwischen den Zufallsvariablen beschreibt,
und
• eine Menge von bedingten Wahrscheinlichkeiten, welches einer cpt pro Knoten entspricht.
p(C|A,B)
p(C|−A,B)
p(C|A,−B)
p(C|−A,−B)
p(A) p(B) p(D)
A B D
cpt Knoten C
cpt Knoten E
C E
p(E|B,D)
p(E|−B,D)
p(E|B,−D)
p(E|−B,−D)
Abbildung C.18: Beispiel eines Bayesian Belief Networks
Im Allgemeinen wird die Wahrscheinlichkeit für ein Verbundereignis mit der Kettenregel berechnet:
p(Z1, Z2, . . . , Zk) = p(Z1)
k�
p(Zi|Zi−1, . . . , Z1) (C.73)
Unter der Berücksichtigung, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Knotens nur von den Wahrscheinlichkeiten
seiner direkten Vorgänger P(Zi) abhängt, wobei P(Zi) die Menge der Vorgänger
von Knoten i darstellt, ergibt sich eine vereinfachte Bestimmung der Wahrscheinlichkeit zu:
p(Z1, Z2, . . . , Zk) =
i=2
k�
p(Zi|P(Zi)) (C.74)
i=1