Thesis - RWTH Aachen University

C.1 Theoretische Grundlagen der Manipulatorkinematik 185
Orientierung wie das Bezugssystem {A}. Dann kann {B} jede beliebige Orientierung im Raum annehmen
indem es zuerst um die x-Achse von {A} um einen entsprechenden Winkel ω rotiert wird,
dann um Winkel φ um die y-Achse von {A} und anschließend um θ um die z-Achse von {A}. Aus
Gleichungen C.4, C.5, C.6 und C.9 folgt dann für die Rotationsmatrix von {B} relativ zu {A}:
⎡
⎤
A
B R(ω, φ, θ) = A B Rz(θ) A B Ry(φ) A B Rx(ω) =
cθ cφ cθ sφ sω − sθ cω cθ sφ cω + sθ sω
⎣sθ
cφ sθ sφ sω + cθ cω sθ sφ cω − cθ sω⎦
(C.10)
−sφ cφ sω cφ cω
wobei einfachheitshalber cθ anstatt cos (θ) und sθ anstatt sin (θ) verwendet wird. Diese Darstellung
heißt auch RPY-Winkel-Darstellung aus den entsprechenden englischen Bezeichnungen für die einzelnen
Drehungen mit roll, pitch und yaw. Aus Gleichung C.10 ist die Ermittlung der entsprechenden
Drehungen für eine beliebige Rotationsmatrix einfach. Sei rij das Element der i-ten Reihe und j-ten
Spalte der Rotationsmatrix. Dann ist:
�
φ = atan2(−r31, r2 11 + r2 21 )
ω = atan2( r21 r11
,
cφ cφ )
θ = atan2( r32 r33
,
cφ cφ )
(C.11)
Die Funktion atan2(α, β) berechnet den Winkel γ = tan−1 ( β
), sie benutzt jedoch auch das Vorzei-
α
chen von α und β, um γ im Bereich (−1800 , 1800 ] zu bestimmen.
Außer dieser Beschreibungsform gibt es auch weitere Möglichkeiten, Rotationen zu beschreiben, wie
die ZYX-Euler Winkel, die ZYZ-Euler Winkel oder die Euler Parameter, die auch als Quartenionen
bekannt sind.
Homogene Transformationsmatrix
Aus Gleichungen C.1 und C.7 kann man die allgemeine Gleichung für die Transformation der Beschreibung
eines Punktes B �p von einem Koordiantensystem {B} zu einem Bezugssystem {A} herleiten.
{A} und {B} sind zueinander sowohl verschoben als auch rotiert:
A �p = A B R B �p + A �pBOrig
(C.12)
Aus Gleichung C.12 folgt, dass die Lage eines kartesischen Koordinatensystems relativ zu einem Referenzsystem
durch eine Translation des Nullpunktes des Referenzsystems zum Ursprung des neuen
Koordinatensystems und eine nachfolgende Rotation um die drei Hauptachsen zu beschreiben ist.
Gleichung C.12 kann weiterhin vereinfacht werden. Dabei werden die 3 × 1 Vektoren A�p und B�p um ein Element mit dem Wert 1 erweitert; die so entstehenden 4 × 1 Vektoren AP� B und P� sind als
homogene Positionsvektoren bekannt. Die 3 × 3 Rotationsmatrix A BR und der 3 × 1 Vektor A�pBOrig werden in einer 4 × 4 Matrix A BT zusammengefasst, wobei die unterste Zeile der Matrix mit (0 0 0 1)
belegt wird:
�
A�p
� �
A
A
P � B
= =
1
R
�
A �
�pBOrig
B�p
�
=
0 0 0 1 1
A BT B P � (C.13)