Thesis - RWTH Aachen University

C.1 Theoretische Grundlagen der Manipulatorkinematik 183
Orientierung, also B �p, kann durch Vektoraddition beschrieben werden (Abbildung C.3):
B �p = A �p + B �pAOrig
wobei B �pAOrig der 3×1 Vektor ist, der den Ursprung des Koordinatensystems {A} zu {B} angibt.
AOrig
z
A
y
A
x
A
B
p
A p
AOrig
z
B
y
B
BOrig
B p
x
B
(C.1)
Abbildung C.3: Beschreibung einer Position relativ zu einem System {B} und zu einem Bezugssystem
{A}.
Die Orientierung eines Koordinatensystems {B} zu einem Bezugskoordinatensystem {A} kann durch
die Einheitsvektoren der Achsen von {B} bezüglich {A} definiert werden. Da es sich um 3 × 1
Spaltenvektoren handelt, können sie in den Spalten einer 3 × 3 Matrix A BR zusammengefasst werden,
die auch als Rotationsmatrix des Systems {B} zum Bezugssystem {A} bekannt ist [Cra89] 3 .
Sei A BR die Rotationsmatrix von System {B} zu Bezugssystem {A} und B AR die Rotationsmatrix
von System {A} zu Bezugssystem {B}. Da sich die Rotationsmatrix aus orthonormalen Vektoren
zusammensetzt, hat sie folgende Eigenschaft:
B
AR−1 = B ART = A BR (C.2)
d.h. die Rotationsmatrix von {A} bezüglich {B} ist die Transponierte der Rotationsmatrix von {B}
bezüglich {A}.
Für den einfachen Fall, dass das Koordinatensystem {B} durch die Rotation von {A} um die x-Achse
um einen Winkel θ entstanden ist, sind die Einheitsvektoren der Achsen von {B} bezüglich {A} wie
folgt:
⎛ ⎞
1
A
�xB = ⎝ 0 ⎠ A
, �yB =
0
und demnach wird die Rotationsmatrix:
⎛
⎝
0
cos(θ)
sin(θ)
⎞
⎠ ,
A
BRx(θ) = � A�xB A�yB A �
�zB =
⎛
A
�zB = ⎝
0
−sin(θ)
cos(θ)
⎞
⎠ (C.3)
⎡
1 0 0
⎤
⎣0
cos(θ) −sin(θ) ⎦ (C.4)
0 sin(θ) cos(θ)
3 Nach der Schreibweise von Craig [Cra89] entspricht A B R einer Matrix, die die Orientierung von Koordinatensystem
{B} relativ zum Bezugssystem {A} beschreibt. Der führende hochgestellte Buchstabe entspricht dem Bezugskoordinatensystem,
hier {A}, und der führende tiefgestellte Buchstabe dem aktuelle Koordinatensystem, hier {B}.