Thesis - RWTH Aachen University

184 C.1 Theoretische Grundlagen der Manipulatorkinematik
Entsprechend resultiert für eine Rotation φ nur um die y-Achse:
A
BRy(φ) ⎡
cos(φ) 0
⎤
sin(φ)
= ⎣ 0
−sin(φ)
1
0
0 ⎦
cos(φ)
(C.5)
und für eine Rotation ω nur um die z-Achse:
A
BRz(ω) ⎡
cos(ω) −sin(ω)
⎤
0
= ⎣sin(ω)
0
cos(ω)
0
0⎦
1
(C.6)
yB
z
θ
A
θ
y
z
A
B
(a)
x / x
A
B
φ
z A z
B
y
A B
(b)
/ y
φ
x
x
B
A
y
A
B
ω
z / z
Abbildung C.4: Einzelne Drehungen um die x-Achse (a), um die y-Achse (b) und um die z-Achse
(c).
Sei jetzt B �p die Position eines Punktes im Raum relativ zu einem Koordinatensystem {B} und sei
{A} ein Bezugskoordinatensystem mit demselben Ursprung wie {B}, jedoch rotiert zu {B} um A B R.
Dann ist die Position des Punktes relativ zu {A} durch folgende Gleichung angegeben:
A �p = A B R B �p (C.7)
Sei zusätzlich ein Koordinatensystem {C} mit Rotationmatrix B CR bezüglich {B}, und sei der Punkt
bezüglich dem Koordinatensystem {C} angegeben, also C�p, dann gilt nach Gleichung C.7:
A �p = A B R B �p = A B R ( B C R C �p) = ( A B R B C R) C �p (C.8)
Demnach ist für die Rotationsmatrix von {C} bezüglich {A}:
A
CR = A BR B CR (C.9)
und daher lassen sich Rotationstransformationen über Multiplikation der Rotationsmatrizen kombinieren.
Eine alternative Beschreibung der Drehung von {B} relativ zu einem Bezugssystem {A} kann man
mit einer Folge von drei Rotationen um die Achsen von {A} herleiten. Am Anfang hat {B} dieselbe
B
y
A
(c)
ω
x
x
B
A