Thesis - RWTH Aachen University

186 C.1 Theoretische Grundlagen der Manipulatorkinematik
z
A
y
A
x
A
A
p
BOrig
(a)
y
B
z
B
Abbildung C.5: Lage eines kartesischen Koordinatensystems {B} relativ zu einem Referenzsystem
{A}. Translation (a) und nachfolgende Rotation (b).
Die 4×4 Matrix A BT ist als die homogene Transformationsmatrix des Koordinatensystems {B} bezüglich
{A} bekannt. Ähnlich zu Gleichung C.2 gilt hier auch:
B
A T = A B T−1 =
x
B
A
B
� AB R T − A B RT A �pBOrig
0 0 0 1
R
�
z
y
A
B
z
B
(b)
y
A
x
x
B
A
(C.14)
Die wichtigste Eigenschaft der homogenen Transformationsmatrix ist, dass sie Transformationen zwischen
Koordinatensysteme durch Matrizenmultiplikationen darstellen lässt. Sei A BT die homogene
Transformationsmatrix von {B} zu {A} und B CT die Transformationsmatrix von {C} zu {B}. Dann
gilt für {C} bezüglich {A}:
A
CT = A BT B CT =
�
AB R B CR A
BR B�pCOrig + A �
�pBOrig
0 0 0 1
C.1.2 Kinematische Beschreibung von Manipulatoren
(C.15)
Unter Freiheitsgrad eines Körpers versteht man die Anzahl der möglichen unabhängigen Bewegungen,
d.h. Verschiebungen oder Drehungen, eines starren Körpers gegenüber einem Bezugskoordinatensystem.
Demnach hat ein im Raum frei beweglicher, starrer Körper maximal sechs Freiheitsgrade,
die sich aus drei translatorischen und drei rotatorischen Bewegungsmöglichkeiten zusammensetzen.
Aus mechanischen Konstruktionsgründen haben in den meisten Fällen die Gelenke von Manipulatoren
einen einzelnen Freiheitsgrad. Falls ein Gelenk mit n Freiheitsgrade vorhanden ist, kann es mit n
Gelenken von einem Freiheitsgrad modelliert werden.
Bei Manipulatoren mit nur rotatorischen Gelenken sind über Drehgeber die Gelenkdrehungen zu
jedem Zeitpunkt bekannt. Aus diesen Drehungen muss die entsprechende kartesische Lage der Segmente
des Manipulators und insbesondere die Lage des Greifers berechnet werden. Diese Berechnung
wird als Vorwärtskinematik (Forward Kinematics) oder auch einfach Kinematik (Kinematics) des Roboterarmes
bezeichnet.