Thesis - RWTH Aachen University

68 3.3 Teach-In in virtuellen Umgebungen
Der Parameter α definiert den Radius des Schnittes des Hyperboloiden mit der x−y-Ebene und somit
die Genauigkeit der Endposition am Zielobjekt. Durch Variieren des Parameters γ wird dagegen eine
Folge von ähnlichen Hyperboloiden definiert, die den Arbeitsbereich um das Objekt abdecken und
durch dieselbe Endposition am Objekt (Schnitt mit der x − y-Ebene) verlaufen.
Gleichung 3.21 definiert eine Ebene, die entlang der z-Achse verläuft, den Ursprung des Koordinatensystems
beinhaltet und einen Winkel θ mit der y-Achse bildet. Indem man den Wert von θ variiert,
wird die Ebene um die z-Achse rotiert.
Auflösen nach y und Ersetzen in Gleichung 3.20 ergibt:
x · cos(θ) + y · sin(θ) = 0 (3.21)
x 2
α 2
1+cot 2 (θ)
− z4
= 1 (3.22)
γ2 Im Fall θ = 0 0 entspricht die Ebene der y − z-Ebene des Koordinatensystem und die entsprechenden
Pfade für verschiedene Werte von γ sind in Abbildung 3.14(a) dargestellt. Für θ = 90 0 stimmt die
Ebene mit der x − z-Ebene überein und die Pfade sind in Abbildung 3.14(b) zu sehen. Der Fall
mit θ = 90 0 und einer Objektposition, die ein Greifen von oben erfordert, ist in Abbildung 3.15
präsentiert.
Z FG
Y
FG
X
FG
Z G
(a)
X G
Y G
Zielposition
am Objekt
Z
FG X
FG
Abbildung 3.14: Generierte Pfade aus dem Schnitt des einschalige kreisförmigen Hyperboloiden mit
der Ebene aus Gleichung 3.21 für θ = 0 0 (links) und θ = 90 0 (rechts).
Um die Pfade zu definieren, wird zuerst die erwünschte Zielposition und Orientierung am Objekt bestimmt;
daher ist die Transformationsmatrix O F GT des Greiferkoordinatensystems in der Endposition
relativ zum Objekt bekannt (siehe Abbildung 3.16). Diese Position definiert auch den Ursprung und
die Ausrichtung des Hyperboloiden. Dann wird der Parameter α anhand der erwünschten Genauigkeit
an der Zielposition gesetzt. Indem man θ und γ variiert, wird eine Familie von ähnlichen Pfaden im
Y FG
Z
G
(b)
X
G
Y
G