Thesis - RWTH Aachen University

C.1 Theoretische Grundlagen der Manipulatorkinematik 193
Dadurch ist die gesuchte Roboterbewegung:
˙�θ = J + ( � θ) ˙ � P (C.32)
Dabei ist J die Roboter Jacobi Matrix und J + ihre Pseudoinverse. Mit der Roboter Jacobi Matrix wird
der Raum der kartesischen Greifergeschwindigkeiten auf den Raum der Gelenkdrehungsgeschwindigkeiten
abgebildet. Die genaue Form und Herleitung der Roboter Jacobi Matrix für einen Manipulator
mit sechs Gelenken ist in [SS00a] zu finden.
Wenn Kräfte und Momente auf einem Manipulator wirken, verursachen sie Momente auf die Gelenke
und dadurch eine Bewegung der Segmente. Durch die Bewegung verrichten die Kräfte Arbeit. Diese
muss gleich der Arbeit der verursachten Gelenkmomente sein. Sei � f ein kartesischer Kraft- und
Momentvektor der Dimension 6 × 1, der am Greifer des Manipulators wirkt, und �τ ein Momentvektor
der Dimension 6 × 1 an den sechs Gelenken des Manipulators. Sei zusätzlich δ � P die kartesische
Lageänderung des Greifers und δ � θ die entsprechende Drehung der Gelenke in einem sehr kleinen
zeitlichen Abschnitt δt. Dann ist die Arbeit durch das innere Produkt von � f mit δ � P bzw. von �τ mit δ � θ
angegeben:
�f · δ � P = �τ · δ � θ (C.33)
Dividiert man durch die Zeit δt, in der die Lageänderung des Manipulators stattfindet, dann erhält
man:
�f · δ � P
δt = �τ · δ�θ (C.34)
δt
Da der zeitliche Abschnitt sehr klein ist, kann man Gleichungen C.31 verwenden:
und daher folgt:
�f T J( � θ) ˙ � θ = �τ T ˙ �θ (C.35)
J T ( � θ) � f = �τ (C.36)
Gleichung C.36 gibt dann die Beziehung zwischen den Kräften, die auf den Manipulatorgreifer wirken,
und den Momenten an den Gelenken, die sie verursachen, wieder. Sie erlaubt es, dreidimensionale
Kraftvektoren auf den hoch-dimensionalen Gelenkraum des Manipulators relativ einfach abzubilden.
Dieses Prinzip machen sich auch die Vektorfeldverfahren zunutze, um eine reaktive Hindernisvermeidung
für Manipulatoren zu realisieren (siehe auch Unterkapitel 2.2.2).
C.1.3 Pfadausführung
Ein Pfad (Path) besteht aus einer Sequenz von kartesischen Greiferpositionen bzw. von Gelenkstellungen,
auch als Stützstellen bekannt, die der Roboter nacheinander abfahren muss, um zum Ziel zu
kommen. Der Pfad ist somit eine reine geometrische Beschreibung einer Bewegung. Eine Trajektorie
(Trajectory) beinhaltet dagegen zusätzliche Information bezüglich der zeitlichen Ausführung der
Bewegung; hier ist die erwünschte Position und Geschwindigkeit des Roboters zu jedem Zeitpunkt
eindeutig definiert.
Damit der Roboterarm einen Pfad, den ein Verhalten ermittelt hat, abfahren kann, muss er ihn in eine
Trajektorie transformieren, die er dann mit Hilfe eines Trajektoriereglers ausführt. Da aber die Bestimmung
der Verhaltensausgabe eine gewisse Zeit benötigt und der Roboter in diesem Zeitabschnitt
sich weiterbewegt, ist der Pfad zur tatsächlichen Ausführungszeit nicht mehr aktuell und muss vor
der Ausführung entsprechend angepasst werden.