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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa
por un racional deben construirlo en contra este sentido primero (ya que, según la progresión
escolar de los conocimientos, se construyen los enteros antes que los racionales).
El objetivo de la situación del puzzle es que los alumnos rechacen explícitamente los
procedimientos que hagan intervenir los enteros y construyan, al menos, implícitamente una
nueva regla de acción que la podemos formular así:
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“si a + b = c en el puzzle inicial, entonces f(a + b) = f(a) + f(b) en el puzzle ampliado”
El rechazo del modelo aditivo se convierte entonces en constitutivo del sentido de la
multiplicación por un racional. Pero una condición necesaria para ello es que las elecciones
hechas por el profesor de la razón de ampliación (en este caso 7/4) invaliden los
procedimientos del tipo “adición reiterada”.
La variable V = (n, p), donde n y p son los números que definen la razón de
proporcionalidad (p/n), permite definir varias clases de situaciones fundamentales diferentes:
• Si p es múltiplo de n, por ejemplo el par (4, 8), el alumno se queda en el modelo aditivo y
los números con los que trabajará serán enteros (ya que resolverá el problema calculando
"el doble" de las longitudes de todas las piezas)
• Si p/n es racional, por ejemplo, el par (4, 7), hay un salto, pues la relación anterior no es
posible. Estamos obligados a prescindir de “lo aditivo” y de los números enteros.
Los valores de V= (n, p) ponen en juego el sentido de la multiplicación de un entero por un
racional. La gestión que de ellos haga el profesor en la situación, va a permitir al alumno el
paso de la multiplicación de un entero por un entero (modelo aditivo, adición reiterada) a la
multiplicación de un entero por un racional (modelo multiplicativo, imagen por una aplicación
lineal).
Condiciones de las situaciones-problema.
La resolución de problemas juega una función primordial en el aprendizaje matemático.
Ahora bien, según sean las etapas por las que discurra dicho aprendizaje, así deben cumplir
los problemas funciones esencialmente diferentes:
• Favorecer la construcción de conocimientos nuevos.
• Suministrar ocasiones de empleo de conocimientos anteriores, seleccionando, de este
modo, su dominio de eficacidad y de validez.
Situándonos en el primer caso y aceptando las hipótesis de aprendizaje "por adaptación"
para la construcción de los conocimientos matemáticos, las situaciones problema deben
cumplir ciertas condiciones:
Es necesario proponer un problema (o una cuestión), en el cual, la respuesta que
inicialmente el alumno pueda dar, no se base en el conocimiento que queremos
enseñarle: si fuera necesario poseer este conocimiento para darle solución, esta no sería
una situación de construcción de un conocimiento (sería de aplicación de un
conocimiento anterior).
La respuesta inicial que dé el alumno debe permitirle "poner en acción" una estrategia de
base, con ayuda de otros conocimientos que él ya posee. Es preciso, a continuación,
mediante cambios en la situación, provocar que esa estrategia de base se revele
insuficiente o ineficaz para dar solución al problema propuesto; así, el alumno estará
obligado a hacer diferentes acomodaciones a la situación propuesta. La manipulación,
por parte del profesor, de las variables didácticas de la situación es indispensable para
producir, no sólo los comportamientos esperados en el alumno, sino las significaciones
adecuadas del conocimiento matemático.
Las situaciones que planteemos en las aulas de Educación Secundaria deben dar lugar a
unos modelos de acción en los alumnos, que no se correspondan con el modelo terminal,