conferencias plenarias - Comite Latinoamericano de Matematica ...

Reportes de Investigaciones
1. Veinticinco alumnos, diecinueve segundo y seis de tercero presentaron desarrollos muy
ambiguos e incorrectos.
2. Nueve alumnos, cinco de segundo semestre y cuatro de tercero determinaron la
ecuación de la recta tangente L y consideraron a ésta como la ecuación correspondiente
a f ´(x).
3. Seis alumnos, tres de segundo y tres de tercero argumentaron que cerca del origen la
curva tenía un comportamiento similar al de una recta, procediendo a determinar la
ecuación de dicha recta y la consideraron como la ecuación de f ´(x). Por ejemplo
consideraban los puntos de coordenadas (0, 0) y (1/2, 20).
4. Cuatro alumnos, tres de segundo y uno de tercero, dan primero respuesta al inciso d y
después al c, su alternativa de solución al inciso c, vía el inciso d, es de tipo algebraico.
Consideraron a f (x) como un polinomio de segundo grado en x, y aplicaron las
condiciones iniciales, f (0) = 0, f (2) = 60 y f ´(2) = 20, para determinar los coeficientes del
polinomio de segundo grado que se busca e inmediatamente proceden a derivar el
polinomio correspondiente a f (x) para obtener la expresión de f ´(x).
5. Sólo un alumno de segundo semestre de los 45 recurrió a elementos de naturaleza
gráfica para dar solución al inciso c, e identificó en forma correcta la ordenada f (2) = 60
como el valor del área limitada por los ejes coordenados, la recta x = 2 y la gráfica de f
´(x). Consideró esta área (conocida) como la suma del área (conocida) de un rectángulo
de altura y base conocidas más el área (conocida) de un triángulo de base conocida y
altura desconocida, de inmediato procedió a determinar el valor de la altura con el
propósito de conocer un segundo punto y proceder a determinar el polinomio de primer
grado correspondiente a f ´(x).
Estos resultados muestran la ausencia total en los alumnos de la representación gráfica
de la relación inversa entre tangentes y áreas, existe también una notoria ausencia de la
comprensión gráfica de la derivada de una función, no obstante que esta última se presenta
cuando se introduce en el curso de cálculo diferencial el significado gráfico de la derivada de
una función. Las cosas no mejoran aun cuando el alumno posee elementos formales del
cálculo. Estos resultados muestran que es necesario un mayor énfasis en las
representaciones gráficas en los temas centrales de nuestros cursos de cálculo. En términos
generales podemos concluir que los 76 alumnos a los cuales se les aplicó el cuestionario
diagnóstico no tuvieron éxito al trabajar la relación inversa existente entre tangentes y áreas
apoyándose sólo de información gráfica. Los alumnos por sí solos no logran establecer la
relación gráfica entre áreas y tangentes aun cuando se encuentren en posesión de un
lenguaje formal más amplio del cálculo.
BARROW Y EL TEOREMA FUNDAMENTAL. Fue Isaac Barrow quien con mayor precisión
formuló, en 1667, el problema de la relación entre tangentes y áreas. Encontramos el teorema
fundamental, entre otro resultados, en la Lecture X de sus Lectiones geometricae (London,
1670). En ella presenta una colección de teoremas, la mayor parte, relacionados con la
búsqueda de tangentes, áreas, y longitudes de arcos. Struik (1969) en su libro “A Source Book
in Mathematics” en las páginas 254-260 proporciona los más representativos de esta Lecture
X. El método utilizado por Barrow es totalmente geométrico, y esto hace que no sea fácil
reconocer la importancia de sus resultados. Este trabajo es, sin duda, una de las grandes
contribuciones al cálculo, usa métodos geométricos libres de la carga de cálculos, hace uso
de curvas auxiliares y es poco claro.
LA HISTORIA. Su consideración en el aprendizaje de la matemática, no es una tarea fácil,
exige la preparación de un desarrollo didáctico a través del cual su importancia sea
significativa y explícita a las necesidades del ámbito escolar, además están los riesgos
inmediatos que puede ocasionar su incorporación en el curriculum, ya que puede hacerlo
demasiado extenso, y demandaría de parte del profesor una cuidadosa y laboriosa
preparación para su posible incorporación en el salón de clases a través de la minuciosa
selección de temas que proporcionen información histórica y social que ayude a reforzar o
aclarar los conceptos que se pretendan trabajar y que adicionalmente muestren, como un
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