conferencias plenarias - Comite Latinoamericano de Matematica ...

Cursos Cortos
L2 = [15, 15; 1] (mantener sus 15 dólares, sin
arriesgarlos)
1 4 1 4
u(L1) = u([20, 0; 1/5]) = u ( 20)
+ u(
0)
= ( ) 80 + ( ) 5 = 20
5 5 5 5
u(L2) = u([15, 15; 1] = 1 . u ( 15)
+ 0.
u(
15)
= ( 1)
10 + ( 0)
10 = 10
y decidiendo según la utilidad esperada máxima, Juan optaría por aceptar el juego.
Elementos de la teoría de juegos
Juego 1
Carlos propone a sus dos empleados, Arturo y Benito, lo siguiente:
Tengo 60 dólares disponibles para ustedes. Yo haré con ellos lo que ustedes me digan que
haga. Sin ponerse de acuerdo, deben hacerme, por escrito, uno de los siguientes pedidos:
P1: Dele 30 dólares a mi compañero. P2: Deme 10 dólares.
¿Es predecible lo que pedirán Arturo y Benito, considerando que sus decisiones son muy
racionales?
Veamos: tenemos dos jugadores, cada uno disponiendo de dos estrategias y con pagos
que se pueden prever, de acuerdo a las posibles combinaciones de estrategias elegidas. El
siguiente cuadro resume esta información:
B
P1 P2
P1 (30, 30) (0, 40)
A
P2 (40, 0) (10, 10)
La racionalidad de los jugadores los llevará a optar, a ambos, por la estrategia P2, con lo
cual se aseguran un pago, pero no obtienen lo máximo que podrían obtener.
Este juego presenta una situación muy similar a la del conocido juego “el dilema de los
prisioneros” y se llega a la situación de equilibrio (de Nash) observando que hay estrategias
estrictamente dominadas y que por ello no serían elegidas por un jugador racional. En este
caso P1 es estrictamente dominada por P2 tanto para A como para B, pues los pagos
correspondientes siempre son menores.
Hagamos algunas precisiones, formalizando y generalizando:
Definición: Un juego de n jugadores está representado en su forma normal, si para cada
jugador se especifican sus respectivos conjuntos de estrategias Ei, i = 1, 2, ..., n y sus
respectivas funciones de pago ui, i = 1, 2, ..., n. Tal juego se denota J = {Ei , ui}i = 1, 2, ...,n.
Definición: En el juego J = {Ei , ui}i = 1, 2, ...,n , consideremos las estrategias e’i y e”i del jugador i.
(e’i , e”i ∈ Ei ). Decimos que e’i está estrictamente dominada por e”i si para cualquier
combinación factible de los otros jugadores, el pago para el jugador i, jugando su estrategia e’i
es estrictamente menor que el pago que obtendría jugando su estrategia e”i.
Definición: (Generalizable para n jugadores.) En el juego J = { Ei , ui}i= 1, 2 , el par de
estrategias (e1*, e2*) es un equilibrio de Nash si se cumplen las dos siguientes condiciones:
u1 (e1*, e2*) ≥ u1 (e1 , e2*) ∀ e1 ∈ E1 y u2 (e1*, e2*) ≥ u2 (e1* , e2) ∀ e2 ∈ E2.
John Nash introdujo este concepto de equilibrio en la teoría de juegos, en 1950, e hizo
grandes aportes a esta teoría. Demostró que en cualquier juego finito (tanto el conjunto de
jugadores como el conjunto de estrategias de cada uno de ellos son conjuntos finitos) existe
por lo menos un equilibrio de Nash. (Debe aclararse que tal equilibrio podría ser con
estrategias mixtas.) Los valiosos aportes a la teoría de juegos y sus aplicaciones a la teoría
económica, hicieron que en 1994 se le otorgue el Premio Nobel en Economía a John Nash,
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